Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

182 KAPITEL 5. INTEGRATION
als
∫
I =
⃗f(t) dt .
Für ein bestimmtes Integral sind wie beim konventionellen Integral über eine skalare Funktion
die Integrationsgrenzen hinzu zu fügen:
I =
∫ t 2
t 1
⃗ f(t) dt .
§ 708 Anschaulich finden wir schnell eine Lösung: da wir eine vektorwertige Funktion als
geordnetes Paar reeller Funktionen interpretiert haben, erfolgt die Integration ebenso wie die
Differentiation komponentenweise:
⎛ ∫ ⎞
∫
fx (t) dt ∫
∫
∫
∫
⃗f(t) dt = ⎝
∫ fy (t) dt ⎠ = ⃗e x f x (t) dt + ⃗e y f y (t) dt + ⃗e z f z (t) dt . (5.8)
fz (t) dt
§ 709 Warnung: Diese Gleichung ist nur dann anwendbar, wenn die Basisvektoren ⃗e i vom
Parameter t unabhängig sind, da sie dann als Konstanten vor die Integrale gezogen werden
können. Das gleiche Problem kennen wir bereits von der Differentiation: auch dort ist komponentenweises
Differenzieren nur möglich, wenn sich die Einheitsvektoren nicht verändern, d.h.
in kartesischen Koordinaten. Sonst müssen die ⃗ f i ⃗e i gemäß Kettenregel differenziert werden.
Für unsere Zwecke ist die Beschränkung auf kartesische Koordinaten jedoch ausreichend.
§ 710 Als Beispiel strapazieren wir nochmals die Kreisbewegung – allerdings beschränken
wir uns auf Grund der obigen Warnung auf die Darstellung der Kreisbewegung in kartesischen
Koordinaten. Bei gegebener Geschwindigkeit lässt sich der Ort eines Teilchens aus dem
allgemeinen Weg–Zeit–Gesetz bestimmen zu ⃗r(t) = ∫ ⃗v dt. Bei einer Kreisbewegung mit einer
Geschwindigkeit ⃗v = (v x , v y ) = v 0 (− sin ωt, cos ωt) erhalten wir für den Ort
∫
⃗r(t) = ⃗vdt =
( ∫
−v0 sin ωt dt
∫
v0 cos ωt dt
)
= v 0
ω
(
cos ωt
sin ωt
)
+ ⃗r 0 .
§ 711 Jetzt können wir auch die Schwerpunktsbestimmung aus § 702 ohne das Plausibilitätsargument
alleine unter Verwendung von (5.7) lösen. Dazu stellen wir Ortsvektor und
Volumenelement in Kugelkoordinaten dar und verwenden die Integrationsgrenzen wie vorher:
⃗r s = 1 V
= 1 V
= 1 V
= 1 V
= 1 V
∫
V
∫ r
r=0
∫ r
r=0
∫ r
r=0
∫ r
r=0
⎛
⎞
⃗r dV = 1 ∫ r ∫π/2
∫2π
r sin ϑ cos ϕ
⎝ r sin ϑ sin ϕ ⎠ r 2 sin ϑ dϕ dϑ dr
V
r=0 ϑ=0 ϕ=0 r cos ϕ
⎛
⎞
∫π/2
∫2π
r 3 ⎝ sin2 ϑ cos ϕ
sin 2 ϑ sin ϕ ⎠ dϕ dϑ dr
ϑ=0 ϕ=0 cos ϑ sin ϑ
⎡ ⎛
⎞⎤
∫π/2
⎣r 3 ⎝ sin2 ϕ=2π
ϑ sin ϕ
− sin 2 ϑ cos ϕ ⎠⎦
dϑ dr
ϑ=0
ϕ cos ϑ sin ϑ
0
⎛
⎞
∫π/2
0
r 3 ⎝ 0 ⎠ dϑ dr
ϑ=0
2π cos ϑ sin ϑ
⎡⎛
⎞⎤π/2
⎛
0
r 3 ⎣⎝
0 ⎠⎦
dr = 1 r 4
⎝ 0 ⎞ ⎛
0 ⎠ = ⎝ 0 ⎞
0 ⎠ .
2π (sin 2 V 4
ϑ)/2
π 3r/8
ϑ=0
Auch in dieser Darstellung sind zwar die Ausdrücke aus den Kugelkoordinaten übernommen,
der Vektor ⃗r ist aber immer noch in kartesischer Form gegeben. Daher ist die Integration
unproblematisch.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode