Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

416 KAPITEL 11. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 11.6: Stehende Welle: Schwingungsknoten
bleiben in Ruhe, in den Schwingungsbäuchen
schwingt die Saite hin und her
Die Wellenzahl k als ein Mass für die räumliche Periode der Welle, d.h. die Zahl der Wellen
pro Längeneinheit, ist mit der Wellenlänge λ verknüpft gemäß λ = 2π/k. Im 3D lässt sich
die harmonische Welle schreiben als
B(⃗r, t) = B 0 e ±i(ωt−⃗ k·⃗r)
(11.12)
mit ⃗ k als Wellenvektor. Dieser steht senkrecht auf den Wellenfronten, weist also in Ausbreitungsrichtung
der Welle.
§ 1542 Ein Spezialfall der harmonischen Welle ist eine stehende Welle wie wir sie bereits in
Abschn. 11.3.1 am Beispiel der schwingenden Saite kennen gelernt haben. Während eine Welle
eine sich ausbreitende Störung ist (vgl. Abb. 11.5), entsteht eine stehende Welle durch die
Überlagerung zweier harmonischer Wellen, die sich in entgegen gesetzter Richtung ausbreiten:
A(x, t) = a cos(kx − ωt) + a cos(kx + ωt) = 2a cos(ωt) cos(kx) ,
wobei das Additionstheorem
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β (11.13)
verwendet wurde.
§ 1543 Ausgezeichnete Punkte einer stehenden Welle sind die Schwingungsknoten (s. Abb. 11.6):
sie bleiben in Ruhe, d.h. die Amplitude A(x n , t) ist Null für alle Zeiten t.
11.3.3 Zweidimensionale Welle: Schwingende Rechteckmembran
§ 1544 Die Schwingung eines Trommelfells wird durch eine zweidimensionale Wellengleichung
beschrieben. In kartesischen Koordinaten ist diese
∂ 2 A
∂x 2 + ∂2 A
∂y 2 = 1 ∂ 2 A
c 2 ∂t 2 . (11.14)
Als Beispiel betrachten wir eine rechteckige Membran mit den Seitenlängen a entlang der
x- und b entlang der y-Achse. Die Membran ist an ihren Rändern fest eingespannt, d.h. wir
haben Dirichlet’sche Randbedingungen:
A(0, y) = A(a, y) = A(x, 0) = A(x, b) = 0 .
§ 1545 Im Separationsansatz werden zunächst nur zeitlicher und räumlicher Anteil getrennt:
A(x, y, t) = R(x, y) T (t) .
Einsetzen in (11.14) liefert
( ∂ 2 )
R(x, y)
T (t)
∂x 2 + ∂2 R(x, y) R(x, y) d 2 T (t)
∂y 2 =
c 2 dt 2 .
Wir sortieren die Terme derart, dass auf einer Seite nur räumliche Koordinaten stehen, auf
der anderen die Zeit:
1 d 2 (
T (t) 1 ∂ 2 )
R
c 2 T (t) dt 2 =
R(x, y) ∂x 2 + ∂2 R
∂y 2 . (11.15)
Da die linke Seite nur eine Funktion von t ist, die rechte nur eine Funktion der Raumkoordinaten,
können beide Seiten nur dann gleich sein, wenn sie gleich einer Konstanten sind.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode