Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

412 KAPITEL 11. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
11.2.3 Separationsansatz
Für viele partielle Differentialgleichungen ist das Standardlösungsverfahren ein Separationsansatz.
Dazu wird das gesuchte Feld A(x, y, z, t) als ein Produkt von Feldern geschrieben, bei
denen jedes einzelne nur von einer der Koordinaten abhängt, z.B.
A(x, y, z, t) = X(x) Y (y) Z(z) T (t) oder A(r, ϕ, ϑ) = R(r) Φ(ϕ) Θ(ϑ) T (t) .
Mit Hilfe dieses Separationsansatzes lässt sich die partielle DGL auf gewöhnliche Differentialgleichungen
für jede dieser Funktionen zurück führen. Diese gewöhnlichen DGLs können
z.B. durch Separation der Variablen oder durch einen Exponentialansatz gelöst werden (vgl.
Abschn. 7.4) oder natürlich durch numerische Verfahren (vgl. Abschn. 7.9).
11.3 Wellengleichung
§ 1529 Wir beginnen die Diskussion partieller Differentialgleichungen mit der Wellengleichung,
da für diese Gleichung anschauliche Beispiele verwendet werden können. Dabei werden
wir die in Abschn. 7.7.3 eingeführte Bessel Funktion und die in Abschn. 7.7.4 eingeführten
Legendre Polynome anwenden können: spezielle Geometrien (schwingendes rundes Trommelfell
bei Bessel und schwingende Kugeloberfläche bei Legendre führe direkt auf die diese
Funktionen definierenden Differentialgleichungen.
§ 1530 Wellen sind sich ausbreitende Störungen eines kontinuierlichen Mediums, z.B. Schallwellen,
elektromagnetische Wellen oder schwingende Saiten oder Membrane. Diese Medien
können unterschiedliche Dimensionen haben: in der Einleitung zu diesem Kapitel haben wir
bereits die idealisierte schwingende Saite als eindimensionales Gebilde kennen gelernt; entsprechend
verbunden mit einer eindimensionalen Wellengleichung. Eine schwingende Membran
(Trommelfell) liefert eine zweidimensionale Wellengleichung. Erst bei Schallwellen oder
elektromagnetischen Wellen benötigen wir die dreidimensionale Gleichung. Unabhängig von
der Dimension und den Eigenheiten der Geometrie lassen sich alle diese Gleichungen mit Hilfe
eines Separationsansatzes lösen – die Zahl der sichdabei ergebenden gewöhnlichen DGLs
ist durch die Zahl der räumlichen Dimensionen plus Eins (für die Zeit) gegeben.
11.3.1 Eindimensionale Wellengleichung: schwingende Saite
§ 1531 Als Beispiel für den Separationsansatz betrachten wir eine schwingende Saite der
Länge l. Gesucht ist die Auslenkung A der Saite aus der Ruhelage in Abhängigkeit vom Ort
x und der Zeit t. Die Differentialgleichung ist, wie bereits in Abschn. 11.1.1 hergeleitet
∂ 2 A
∂x 2 = 1 ∂ 2 A
c 2 ∂t 2 (11.6)
mit c als der Ausbreitungsgeschwindigkeit. Eine Saite hat feste Enden, d.h. die Randbedingungen
sind A(0, t) = 0 und A(l, t) = 0. Da hier der Funktionswert an den Grenzen
des betrachteten Raumbereiches vorgegeben ist, handelt es sich um Dirichlet’sche Randbeingungen.
§ 1532 Zur Lösung von (11.6) machen wir den Separationsansatz
A(x, t) = X(x) T (t) ,
d.h. die Änderung der Auslenkung A lässt sich als das Produkt aus einer zeitabhängigen
Veränderung T (t) und einer räumlichen Veränderung X(x) darstellen. Die X(x) bilden Schnappschüsse
der Welle, wie in Abb. 11.1 angedeutet. Einsetzen des Separationsansatz in die PDGL liefert
X ′′ (x)T (t) = 1 c 2 X(x) T ′′ (t)
und nach Umformen
1
1
X(x) X′′ (x) =
c 2 T (t) T ′′ (t) . (11.7)
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode