Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.1. BINOME, POTENZEN, PQ-FORMELN 515
§ 1857 Zur Lösung der quadratischen Gleichung stehen zwei Verfahren zur Verfügung. Das
einfache Lösungsschema ist die pq-Formel:
x 1,2 = − p 2 ± √ (p
2) 2
− q . (C.1)
Beispiel 6 Gegeben ist die Gleichung
2x 2 + 4x − 5 2 = 0 .
Division durch 2 bringt sie auf die Normalform
x 2 + 2x − 5 4 = 0 .
Anwenden der pq-Formel liefert
√
x 1,2 = −1 ± 1 + 5
√ 4
9
= −1 ±
4
und damit
= −1 ± 3 2
x 1 = 1 2
und x 2 = − 5 2 .
Einsetzen zu Probe liefert für x 1
( ) 2 1
2 + 4 1 2 2 − 5 2 = 1 2 + 4 2 − 5 2 = 0
und für x 2 :
(
2 − 5 ) 2
− 4 5 2 2 − 5 2 = 25 2 − 20 2 − 5 2 = 0 . ✷
§ 1858 Das zweite Lösungsverfahren ist die quadratische Ergänzung. Hier gibt es keine Formel:
das hat den Vorteil, dass man sich keine Formel merken muss, aber auch den Nachteil,
dass man keine einfache Formel hat. Stattdessen löst man die Gleichung in Anlehnung an die
binomische Formel. Die quadratische Gleichung ist wieder in Normalform gegeben:
x 2 + px + q = 0 .
Diese Gleichung soll auch eine Form
(x + v) 2 = w
gebracht werden, so dass man auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und anschließend nach x
auflösen kann. Nach binomischer Formel gilt (x + v) 2 = x + 2vx + v 2 . Setzen wir in unserer
quadratischen Gleichung also
x 2 + 2 p 2 x + q = 0 ,
so erinnern zumindest die beiden ersten Terme an die binomische Formel. Uns fehlt dann nur
noch ein (p/2) 2 . Das können wir auf beiden Seiten der Gleichung addieren und erhalten
x 2 + 2 p ( p
) 2 ( p
) 2
2 x + + q = .
2 2
Die ersten drei Terme links bilden einen Ausdruck entsprechend der binomischen Formel, das
störende q entfernen wir, in dem wir es auf beiden seiten subtrahieren:
(
x + p ) 2 ( p
) 2
= − q .
2 2
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007