Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

382 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
ist ein Differentialoperator, der auf Felder angewandt wird. Je nach Feldtyp ergeben sich
unterschiedliche neue Felder:
Ausgangsfeld Produkt neues Feld Bezeichnung Bedeutung
skalar vektoriell Gradient Steigung
vektoriell skalar skalar Divergenz Quellstärke
vektoriell vektoriell vektoriell Rotation Wirbelhaftigkeit
Der Nabla Operator ordnet also jedem Punkt eines Feldes eine Eigenschaft Gradient, Divergenz
oder Rotation zu. Alle diese Größen sind daher lokale Größen.
§ 1431 Aus oben besprochenen Rechenregeln können wir einige grundlegende Regeln für
Felder zusammenfassen:
• Gradientenfelder sind wirbelfrei:
rot (gradA) = ∇ × (∇A) = 0 .
Formal lässt sich das in kartesischen Koordinaten einfach zeigen:
⎛
⎝ ∂/∂x
⎞ ⎡⎛
∂/∂y ⎠ × ⎣⎝ ∂/∂x
⎞ ⎤ ⎛
∂/∂y ⎠ A⎦ = ⎝ ∂/∂x
⎞ ⎛
∂/∂y ⎠ × ⎝ ∂A/∂x
⎞ ⎛
∂A/∂y ⎠ = ⎝ ∂ ⎞
yzA − ∂ zy A
∂ zx A − ∂ xz A ⎠ = 0 .
∂/∂z ∂/∂z
∂/∂z ∂A/∂z ∂ xy A − ∂ yx A
Im letzten Schritt haben wir verwendet, dass die Reihenfolge der partiellen Differentiationen
vertauscht werden kann.
• auch die Umkehrung dieses Zusammenhangs wird in der Physik häufig verwendet: wirbelfreie
Vektorfelder lassen sich als der Gradient eines Skalarfeldes darstellen:
rot ⃗ A = ∇ × ⃗ A = 0 ⇒ ⃗ A = grad B = ∇B .
• Wirbelfelder sind quellenfrei:
div (rot ⃗ A) = ∇ · (∇ × ⃗ A) = 0 .
Auch dies könne wir in kartesischen Koordinaten explizit nachrechnen:
⎛
⎝ ∂ ⎞ ⎡⎛
x
∂ y
⎠ · ⎣⎝ ∂ ⎞ ⎛ ⎤ ⎛ ⎛
x
∂ y
⎠ × ⎠⎦ = ⎠ ·
∂ z ∂ z
⎝ A ⎞
x
A y
A z
⎝ ∂ ⎞
x
∂ y
∂ z
⎝ ∂ ⎞
yA z − ∂ z A y
∂ z A x − ∂ x A z
⎠
∂ x A y − ∂ y A x
= ∂ xy A z − ∂ xz A y + ∂ yz A x − ∂ yx A z + ∂ zx A y − ∂ zy A x
= 0 ,
wobei wir auch hier verwendet haben, dass die Reihenfolge der partiellen Differentiationen
vertauscht werden kann.
• auch hier gibt es eine Umkehrung: quellenfreie Vektorfelder lassen sich als die Rotation
eines anderen Vektorfeldes darstellen:
div ⃗ B = ∇ · ⃗B = 0 ⇒ ⃗ B = rot ⃗ A = ∇ × ⃗ A .
§ 1432 Für Kombinationen von Vektorfeldern ⃗ A(⃗r) und ⃗ B(⃗r) gelten die folgenden Rechenregeln:
• div( ⃗ A × ⃗ B) = ⃗ B · rot ⃗ A − ⃗ A · rot ⃗ B .
• rot( ⃗ A × ⃗ B) = ( ⃗ B · ∇) ⃗ A − ⃗ B(∇ · ⃗A) − ( ⃗ A · ∇) ⃗ B + ⃗ A(∇ · ⃗B) .
• rot rot ⃗ A = ∇(∇ · ⃗A) − ∇ 2 ⃗ A = grad(div ⃗ A) − ∆ ⃗ A .
Die Regeln sollen Sie sicherlich nicht auswendig lernen, Sie sollten aber um die Existenz
derartiger Regeln wissen, so dass Sie diese bei Bedarf in einem der Handbücher wie [7], [21]
oder [70] nachschlagen können.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode