Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

11.5. POISSON GLEICHUNG 423
Abbildung 11.8: Temperaturverlauf in
einer rechteckigen Platte als Lösung der
Laplace Gleichung
§ 1570 Die Gesamtlösung entsteht durch Überlagerung der einzelnen Lösungen. Allerdings
hat in diesem Fall die Überlagerung eine andere Bedeutung als bei der Wellengleichung. Bei
der Wellengleichung können die Eigenmoden einzeln existieren: so können alle Oberschwingungen
verschwinden und es bleibt nur die Grundschwingung. Bei der Laplace Gleichung
dagegen müssen alle einzelnen Terme addiert werden: hier handelt es sich bei den einzelnen
Termen nicht um Eigenmoden sondern um die Glieder der Fourier Reihe (siehe auch
Abschn. 7.7.5) der Lösungsfunktion. Diese wird also
∞∑
∞∑ ( nπx
) ( nπy
)
T (x, y) = T n (x, y) = γ n sin sinh .
a a
n=1
n=0
Aus der letzten Randbedingung T (x, b) = f(x) erhalten wir
∞∑ ( nπx
) ( ) nπb
T (x, b) = f(x) = γ n sin sinh .
a
a
n=0
Da die sin(nπx/a) orthogonale Funktionen sind, lässt sich dies schreiben als
( ) nπb
γ n sinh = 2 ∫ a ( nπx
)
f(x) sin dx .
a a
a
0
§ 1571 Mit einem Temperaturprofil f(x) = T 0 x(a − x) erhalten wir
( ) nπb
γ n sinh = 2 ∫ a
( nπx
)
T 0 x(a − x) sin dx
a a
a
= 4T 0 a 2 1 − (−1)n
n 3 π 3 .
Die Lösung wird damit
T (x, y) = 8T 0a 2
π 3
∞
∑
n=1
0
1 − (−1) n
n 3
sinh ( )
nπy
a
sinh ( nπb
a
) sin
Der Verlauf dieser Lösung ist in Abb. 11.8 gegeben.
11.5 Poisson Gleichung
( nπx
)
.
a
§ 1572 Die Poisson Gleichung entspricht formal der Laplace Gleichung mit zusätzlich einer
Inhomogenität, die die Quellen beschreibt. Die wichtigsten Beispiele sind das elektrostatische
Potential U und das Gravitationspotential V :
∇ 2 U = − ϱ ε 0
und ∇ 2 V = 4πγϱ m
mit ϱ als Ladungs- und ϱ m als Massendichte. Die beiden Gleichungen unterscheiden sich nur
in den Kopplungskonstanten −1/ε 0 und 4πγ.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007