Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

258 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 7.10: Verschiedene Ordnungen
der Bessel Funktion der ersten Art:
J 0 (durchgezogen), J 1 (gestrichelt), J 2
(punktiert) und J 3 (strichpunktiert)
Abbildung 7.11: Die ersten Ordnungen
der Bessel Funktion 2. Gattung:
Y 0 (durchgezogen), Y 1 (gestrichelt), Y 2
(punktiert) und Y 3 (strichpunktiert)
d.h. die Gesamtlösung wird
x(t) = λJ 0 (t) + µx 2 (t) .
Diese Lösung lässt sich durch eine Bessel Funktion zweiter Gattung der Ordnung Null beschreiben:
Y 0 (t) = 2 (
γ + ln t )
J 0 (t) + 2 ∞∑ (−1) k+1 ( ) 2k
H k t
π 2 π (k!) 2 2
mit
H k = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . =
k∑
j=1
1
j
k=1
und γ als der in Eulers Definition der Gamma Funktion verwendeten Euler–Mascheroni
Konstante
γ = lim
k→∞ (H k − ln k) = 0.5772215 · · · .
Die höheren Ordnungen der Bessel Funktion zweiter Gattung lassen sich darstellen in der
Form
J m (t) cos(mπ) − (−1) m J m (t)
Y n (t) = lim
.
m→n sin(mπ)
§ 979 Abbildung 7.11 zeigt die unteren Ordnungen der Bessel Funktion zweiter Gattung.
Alle Ordnungen gehen für t → 0 gegen Unendlich. Auch diese Funktionen oszillieren, die
Amplitude der Oszillation nimmt mit zunehmender Ordnung ab und benachbarte Ordnungen
sind um π/4 verschoben.
§ 980 Bessel-Funktionen ergeben sich bei zylindersymmetrischen Geometrien. Sie bieten eine
einfache Möglichkeit, Lösungen in geschlossener Form darzustellen. Die Bessel Funktionen
sind in Formelsammlungen tabelliert, sie sind auch in Programm-Bibliotheken enthalten.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode