Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.3. ELEMENTARES INTEGRIEREN 539
Beispiel 26 Die Parabel f(x) = 8 − x 2 rotiert im Bereich zwischen ihren Nullstellen
um die x-Achse. Wie groß ist das Volumen des Rotationskörpers? Die Nullstellen der
Funktion f(x) liegen bei x 1,2 = ±2 √ 2, d.h. für das Volumen gilt
V = π
2∫
√ 2
−2 √ 2
(8 − x 2 ) 2 dx = π
2∫
√ 2
−2 √ 2
(64 − 16x 2 + x 4 ) dx
= π [ 64x − 16 3 x3 + 1 5 x5] 2 √ 2
−2 √ 2 = 2048
15 π√ 2 = 606.5 .
✷
Aufgaben
§ 1902 Die Aufgaben sind nach Schwierigkeitsgrad gestaffelt. Ein * bezeichnet eine rein
rechentechnische Aufgabe: mit etwas Gewöhnung müssen Sie in der Lage sein, derartige
Aufgaben ohne Nachdenken schnell zu lösen. Bei dr langen Liste in Aufg. 297 ist es nicht
unbedingt erforderlich, alle Funktionen abuileiten. Versuchen Sie aber zu identifizieren, welche
Ableitungsregeln sie benötigen, insbesondere, wo die Kettenregel nicht übersehen werden darf.
Aufgaben mit ** Erfordern etwas mehr Nachdenken /häufig beim Aufstellen der Gleichung),
sollten aber vom rechentechnischen her problemlos lösbar sein. Aufgaben mit *** sollen zum
vertieften Nachdenken anregen – wenn Sie die hier in einer ersten Hilfe lösen können, heißt
das nur, dass sie die Erste Hilfe nicht benötigt haben oder sehr gut in der Lage waren, sich
selbst zu helfen.
Potenzen und Verwandtes
Aufgabe 295 * Lösen sie die folgenden quadratischen Gleichungen:
(a) x 2 + 2x − 35 = 0 ,
(b) x 2 + 9x + 20 = 0 ,
(c) 4x 2 − 16x + 15 = 0 ,
(d) 8x 2 + 34x + 21 = 0 ,
(e) 3x 2 − 3x − 2 = 0 ,
(f) 15x 2 + 2x − 1 = 0 ,
(g) x 2 + 2x + 35 = 0 .
Sie können alle Lösungen ohne Verwendung eines Taschenrechners erhalten (im Zweifelsfall
mit Brüchen rechnen!).
Aufgabe 296 * Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke (alle Basen sind so, dass nicht
durch Null geteilt oder die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen wird):
(a) 18xa+4 4x7−3a
÷
2y5a+7 8y 8+5a ,
(b) 27x−5 y −6 z −1
45x −4 y −5 z 0 , (c) (6ab) 3 (5a 2 b) 4
2 4 · 3ab 2 · (25a √ b) 2
√ √
a2 + b
(d)
2 + 2ab b2 − 2ab + a 2
2
2
.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007