Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

68 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN
Abbildung 2.9: Einfärben benachbarter Flächen: eine Ebene wird durch n paarweise verschiedene
Geraden in Teilgebiete zerlegt. Diese sind so einzufärben, dass Teilflächen mit
mindestens einem gemeinsamen Geradenstück in unterschiedlichen Farben gefärbt sind. Behauptung:
für alle n ∈ N sind zwei Farben ausreichend
Das ist eine wahre Aussage, d.h. H(0) ist wahr.
2. Induktionsschritt: für jedes n ist zu zeigen, dass aus der Gültigkeit von H(n) auch die von
H(n + 1) folgt. Für eine natürliche Zahl n gelte H(n). Addition von n + 1 liefert
n∑
n(n + 1)
i + (n + 1) = + (n + 1) .
2
i=0
Links entspricht das der Summation bis n + 1, rechts können wir zusammen fassen:
n+1
∑
( n
)
i = (n + 1)
2 + 1 (n + 1)[(n + 1) + 1]
= ,
2
i=0
was zu beweisen war.
§ 274 Vollständigen Induktion beruht auf dem Induktionsprinzip:
Satz 7 Induktionsprinzip: Ist M eine Teilmenge von N mit den Eigenschaften (1) 1 ∈ M
und (2) ∀n ∈ N : n ∈ M ⇒ (n + 1) ∈ M, so ist M = N.
Mit Hilfe der vollständigen Induktion soll gezeigt werden, dass die Aussage A(n) für alle n ∈ N
gilt. Das lässt sich nicht für alle n durchführen. Also betrachten wir nur eine Untermenge
M mit den erwähnten Eigenschaften, d.h. wir untersuchen den Startwert (Induktionsanfang)
und machen für ein beliebiges n den Schluss auf den Nachfolger n + 1. Das entspricht der
Definition der Menge M in Satz 7, d.h. wenn die Aussage für alle Elemente von M gilt, gilt
sie auch, da M = N, für alle n ∈ N.
§ 275 Abbildung 2.9 gibt ein geometrisches Problem, das sich mit Hilfe der vollständigen
Induktion beweisen lässt. Eine Ebene wird durch n paarweise verschiedenen Geraden in
Teilflächen zerschnitten. Diese sind so einzufärben, dass Teilflächen mit mindestens einem
gemeinsamen Geradenstück unterschiedliche Farben haben. Bei einer einzigen Geraden sind
offenbar zwei Farben ausreichend. Eine zweite Gerade hinzugefügt führt ebenfalls noch auf
ein mit zwei Farben zu lösendes Problem, siehe auch zweites Teilbild von links in Abb. 2.9.
Behauptung: zwei Farben sind für alle n ausreichend.
Beweis: Induktionsanfang: für n = 1 wird die Ebene in zwei Flächen geteilt (linkes Teilbild).
Also sind zwei Farben zum Einfärben gemäß Vorgabe ausreichend. Induktionsschritt: für n
Geraden kommen wir mit zwei Farben aus, wir müssen zeigen, dass dies auch für n + 1-
Geraden geht. Ohne die n + 1te Gerade hat das Einfärben funktioniert (mittleres Teilbild).
Das Zufügen dieser Geraden verletzt die Färberegel (zweites Teilbild von rechts), da sich
die von g n+1 durchschnittenen Flächen mit einer Seite berühren aber gleiche Farbe haben.
Tauschen der vorhandenen Farben in allen Elementen auf einer Seite von g n+1 stellt jedoch
wieder ein korrektes Farbmuster her, siehe die beiden rechten Teilbilder in Abb. 2.9
§ 276 Der erste Induktionsschritt muss nicht unbedingt bei n = 1 beginnen, sondern kann
bei einem beliebigen k ∈ N beginnen. Diese Beweismethode ist durch das erweiterte Induktionsprinzip
begründet:
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode