Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

154 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
§ 609 Das Volumenelement lässt sich auch schreiben als
dV = r 2 dr dΩ mit dΩ = sin ϑ dϑ dϕ (4.20)
als dem Raumwinkelelement. Ein Flächenelement auf der Oberfläche der Kugel ist
dA ⃗ =
∂⃗r
∣∂ϑ × ∂⃗r
∂ϕ∣ dϑ dϕ ⃗e r = r 2 sin ϑ dϑ dϕ ⃗e r = r 2 dΩ ⃗e r , (4.21)
wobei der Vektor d ⃗ A senkrecht auf dem Flächenelement steht und seine Länge ein Maß für
die Fläche ist.
§ 610 Für die zeitliche Änderung der Basisvektoren erhalten wir mit Hilfe der Kettenregel
˙⃗e r = ∂⃗e r
∂ϑ ˙ϑ + ∂⃗e r
∂ϕ ˙ϕ = ˙ϑ⃗e ϑ + ˙ϕ sin ϑ ⃗e ϕ
˙⃗e ϑ = − ˙ϑ⃗e r + ˙ϕ cos ϑ⃗e ϕ und
˙⃗e ϕ = − ˙ϕ sin ϑ⃗e r − ˙ϕ cos ϑ⃗e ϑ .
sowie
§ 611 Betrachten wir die Bewegung auf einer Kugeloberfläche, d.h. für r = const und damit
ṙ = 0. Ohne Verwendung des Umwegs über kartesische Koordinaten sondern gleich unter
Verwendung der Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten gilt für den Ort:
⃗r = r r ⃗e r + r ϑ ⃗e ϑ + r ϕ ⃗e ϕ .
Die Geschwindigkeit ergibt sich daraus zu
⃗v = ˙⃗r = ṙ r ⃗e r + r r ⃗e ˙ r + r˙
ϑ ⃗e ϑ + r ϑ ⃗e ˙ ϑ + ṙ ϕ ⃗e ϕ + r ϕ ˙⃗eϕ
( dϑ ∂⃗e r
= ṙ r ⃗e r + r r
dt ∂ϑ + dϕ )
(
∂⃗e r
dr ∂⃗e ϑ
+ ṙ ϑ ⃗e ϑ + r ϑ
dt ∂ϕ
dt ∂r + dϕ )
∂⃗e ϑ
(
dt ∂ϕ
dr ∂⃗e ϕ
+ṙ ϕ ⃗e ϕ + r ϕ
dt ∂r + dϑ )
∂⃗e ϕ
(
dt
)
∂ϑ
(
= ṙ r ⃗e r + r r ˙ϑ⃗eϑ + sin ϑ ˙ϕ⃗e ϕ + ṙ ϑ ⃗e ϑ + r ϑ − ˙ϑ⃗e
)
r + cos ϑ ˙ϕ⃗e ϕ
+ṙ ϕ ⃗e ϕ + r ϕ (− sin ϑ ˙ϕ⃗e r − cos ϑ ˙ϕ⃗e ϑ )
= ṙ r ⃗e r + r r ˙ϑ ⃗eϑ + sin ϑ ˙ϕ⃗e ϕ
oder komponentenweise
v r = ṙ = 0 , v ϑ = r ˙ϑ , und v ϕ = r sin ϑ ˙ϕ .
Für die Beschleunigung ergibt sich nach entsprechender Rechnung
a r = ˙v r − v2 ϑ + v2 ϕ
, a ϑ = ˙v ϑ + v rv ϑ
−
v2 ϕ
r
r r tan ϑ , und
a ϕ = ˙v ϕ + v rv ϕ
+ v ϑv ϕ
r r tan ϑ .
Die zusätzlichen Terme reflektieren die Tatsache, dass die Bewegung auf der Kugeloberfläche
nicht in einem Inertialsystem stattfindet.
Zwischenrechnung 20 Stellen Sie Geschwindigkeit und Beschleunigung für eine allgemeine
Bewegung in Kugelkoordinaten dar, d.h. die Einschränkung r = const gilt nicht mehr.
4.5.5 Jacobi Determinante
§ 612 Das Volumen des aus den drei Einheitsvektoren gebildeten Parallelepipeds ist in jedem
dreidimensionalen Koordinatensystem durch das Spatprodukt der drei Einheitsvektoren
gegeben. Für ein Volumenelement wird nicht der Einheitsvektor benötigt, sondern nur ein
Stückchen du i in Richtung dieses Einheitsvektors. Daher gilt für ein Volumenelement allgemein
dV =
∂⃗r
∣ ·
∂u 1
∂⃗r
× ∂⃗r ∣ ∣∣∣
du 1 du 2 du 3 .
∂u 2 ∂u 3
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode