Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.7. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 255
auftreten. Vom mathematischen Standpunkt hat die Linearität jedoch eine tiefere Bedeutung:
Linearkombinationen von Lösungen dieser DGL sind wieder Lösungen der DGL:
D(x 1 ) = D(x 2 ) = 0 ⇒ D(λx 1 + µx 2 ) = 0 λ, µ ∈ R .
Das ist eine mathematische Formulierung des Superpositionsprinzips.
§ 966 Inhaltlich bedeutet dies: finden wir zwei beliebige (allerdings linear unabhängige)
Lösungen der DGL, so können wir daraus entsprechend obiger Vorschrift eine unendliche
Menge an Lösungen konstruieren. 4 Diese beiden linear unabhängigen Lösungen können als
Basen eines (nicht-geometrischen) Vektorraums aufgefasst werden; die Idee wurde bereits in
Abschn. 1.6.5 angesprochen.
§ 967 Umgekehrt lässt sich auch zeigen, dass jede beliebige Lösung einer linearen gewöhnlichen
DGL zweiter Ordnung aus lediglich zwei (linear unabhängigen) Basen konstruiert
werden kann. Ist das der Fall, so müssen drei Lösungen u, v und w linear abhängig sein, d.h.
eine von ihnen lässt sich als Linearkombination der anderen beiden darstellen. Betrachten
wir diesen Punkt etwas genauer. Er wird mathematisch formuliert durch den folgenden Satz:
Satz 18 Alle Lösungen einer gewöhnlichen linearen DGL zweiter Ordnung lassen sich durch
Linearkombination von zwei beliebigen, linear unabhängigen Lösungen der DGL darstellen.
§ 968 Um diesen Zusammenhang zu zeigen, nehmen wir an, dass p, q, r und x in (7.27)
nicht verschwinden und dass wir drei Funktionen u, v und w mit D(u) = D(v) = D(w) = 0
gefunden haben. Da diese Lösungen der DGL sind, muss gelten
pü + q ˙u + ru = 0 ,
p¨v + q ˙v + rv = 0 und
pẅ + qẇ + rw = 0 .
Die Funktion r kann durch paarweise Subtraktion eliminiert werden und es verbleiben zwei
Gleichungen:
[ü
p
u − ¨v ] [ ˙u
= −q
v u − ˙v ]
[ ¨v
und p
v v − ẅ ] [ ˙v
= −q
w v − ẇ ]
.
w
Die Funktionen p und q können durch Division der beiden Gleichungen durch einander eliminiert
werden:
üv − u¨v ¨vw − vẅ
=
˙uv − u ˙v ˙vw − vẇ .
Die Ableitung von fġ − ˙ fg ist f ¨g − ¨fg, d.h. die Zähler der beiden Ausdrücke sind jeweils die
Ableitungen den Nennern. Da ferner gilt
d
dt ln f = f ˙
f , (7.28)
lässt sich diese Gleichung umschreiben als
ln( ˙uv − u ˙v) = ln( ˙vw − vẇ) + λ mit λ = const .
Umschreiben liefert
˙u + e λ ẇ
u + e λ w = ˙v v .
Nochmalige Integration liefert
ln(u + e λ w) = ln(v) + µ mit µ = const .
4 Denken Sie daran, dass bei der Integration auch eine unendliche Menge an Stammfunktionen entsteht
– die ‘richtige’ wird durch Angabe eines Punktes auf dem Funktionsgraphen festgelegt, genau so, wie die
Anfangsbedingungen dazu dienen, eine spezielle Lösung für eben diese Anfangsbedingungen aus der unendlich
großen Lösungsmannigfaltigkeit auszuwählen.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007