Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

148 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
– Produkt aus vektorwertiger und skalarer Funktion f(t):
d df d⃗a
(f⃗a) = ⃗a + f
dt dt dt .
– Skalarprodukt zweier vektorwertiger Funktionen ⃗a(t) und ⃗ b(t):
d
( )
⃗a ·⃗b = d⃗a
dt dt ·⃗b + ⃗a · d⃗ b
dt .
– Kreuzprodukt zweier vektorwertiger Funktionen ⃗a(t) und ⃗ b(t):
d
(
⃗a ×
dt
⃗ )
b = d⃗a
dt ×⃗ b + ⃗a × d⃗ b
dt
Das Spatprodukt aus drei vektorwertigen Funktionen ⃗a(t), ⃗ b(t) und ⃗c(t) hat damit die
Ableitung
d
( ( ))
⃗a · ⃗b × ⃗c = d⃗a
( d
( ) )
dt
dt · (⃗ b × ⃗c) + ⃗a · ⃗b × ⃗c
dt
= ˙⃗a
( )
· ⃗b × ⃗c + ⃗a · (˙⃗ b × ⃗c) + ⃗a · ( ⃗ b × ˙⃗c) . (4.13)
• Kettenregel (mit g(t) als konventioneller skalarer Funktion)
d ⃗ f(g(t))
dt
= d ⃗ f
dg
dg
dt .
• die Quotientenregel lässt sich wieder auf die Produktregel zurück führen; sie ist ohnehin
nur mit einer skalaren Funktion im Nenner definiert.
4.5.3 Einfache physikalische Beispiele
§ 591 Ein einfaches physikalisches Beispiel für eine vektorwertige Funktion ist der schräge
Wurf. Gesucht ist die Bahnkurve ⃗r(t) des Körpers, gegeben sind der Startort ⃗r 0 , die Anfangsgeschwindigkeit
⃗v 0 und die Beschleunigung ⃗g: ⃗r 0 = (r x,0 , r y,0 , r z,0 ), ⃗v 0 = (v x,0 , v y,0 , v z,0 ) und
⃗g = (0, 0, −g). Skalar würde für die Bahnkurve das allgemeine Weg–Zeit-Gesetz in der Form
z = a 2 t2 + v z,0 t + r z,0 sowie x = v x,0 t + r x,0 und y = v y,0 t + r y,0 gelten. In einem kartesischen
Koordinatensystem mit der xy-Ebene parallel zum Boden und der z-Achse senkrecht
nach oben, entspricht die z-Komponente dem skalaren Weg–Zeit-Gesetz mit a = −g; die beiden
anderen Komponenten werden ebenfalls durch das skalare Weg–Zeit-Gesetz beschrieben,
allerdings mit a = 0. In vektorielle Form gilt damit für den Ort
⎛
⎞
⃗r(t) = ⃗g v x,0 t + r x,0
2 t2 + ⃗v 0 t + ⃗r 0 = ⎝ v y,0 t + r y,0
⎠ .
− g 2 t2 + v z,0 t + r z,0
In den einzelnen Komponenten erkennen wir die Gleichungen aus der nicht-vektoriellen Darstellung.
Dies illustriert die eingangs gegebene Interpretation vektorwertiger Funktionen als
geordnete Paare reeller Funktionen.
§ 592 Die Konsistenz der Darstellung können wir zusätzlich überprüfen, in dem wir einmal
nach der Zeit ableiten. Dann ergibt sich für die Geschwindigkeit
⎛
⃗v(t) = ˙⃗r(t) = d ⎝ v ⎞
x,0
v y,0
⎠ ,
dt
−gt + v z,0
entsprechend den Geschwindigkeits–Zeit-Gesetzen v z = −gt + v z,0 für die beschleunigte vertikale
Bewegung sowie v x = v x,0 und v y = v y,0 für die nicht beschleunigten horizontalen
Bewegungen. Nochmalige Ableitung nach der Zeit ergibt
⎛ ⎞
⃗a(t) = ˙⃗v(t) = ¨⃗r(t) =
⎝ 0 0
−g
⎠ .
Sowohl ⃗v(t) als auch ⃗a(t) sind konsistent mit den Anfangsannahmen.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode