Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

180 KAPITEL 5. INTEGRATION
Dreifachintegral in Kugelkoordinaten.
§ 698 Das Verfahren zur Bestimmung eines Dreifachintegrals in Kugelkoordinaten entspricht
dem in Zylinderkoordinaten, allerdings mit den Transformationsgleichungen
x = r sin ϑ cos ϕ , y = r sin ϑ sin ϕ und z = r cos ϑ
und dem Volumenelement (4.19)
dV = dx dy dz = r 2 dr sin ϑ dϑ dϕ .
Damit erhalten wir für das Integral
∫∫∫
∫ ∫ ∫
f(x, y, z) dx dy dz =
r ϕ ϑ
f(r sin ϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ, r cos ϑ) r 2 sin ϑ dϑ dϕ dr .
§ 699 Als Fingerübung betrachten wir das Volumen einer Kugel mit Radius R:
∫ ∫ ∫ ∫
V = dV = r 2 sin ϑ dϑ dϕ dr .
Da wir bei der Integration alle Volumenelemente erfassen müssen, laufen die Grenzen in r
von Null bis R, in ϕ von 0 bis 2π und in ϑ von 0 bis π:
V =
∫ R
∫ π
∫2π
r=0 ϑ=0 ϕ=0
r 2 sin ϑ dϑ dϕ dr =
∫ R
∫ π
r=0 ϑ=0
2πr 2 sin ϑ dϑ dr = 2π
∫ R
r=0
2r 2 dr = 4 3 πR3 .
§ 700 Wir haben in § 76 die Behauptung aufgestellt, der volle Raumwinkel betrage 4π.
Der volle Raumwinkel ist die Oberfläche einer Einheitskugel. Auch diese können wir durch
Integration in Kugelkoordinaten bestimmen, in dem wir über alle Flächenelemente auf der
Kugeloberfläche integrieren: A = ∫ dA. Mit dem Flächenelement in Kugelkoordinaten aus
(4.21) ohne Berücksichtigung der Richtung und unter Verwendung von r = 1 ( Einheitskugel)
erhalten wir dann
∫
A = dA =
∫2π
∫ π
ϕ=0 ϑ=0
sin ϑ dϑ dϕ = 2π
∫ π
ϑ=0
sin ϑ dϑ = 4π .
§ 701 Als Warnung zur Sorgfalt beim Umgang mit Variablennamen, insbesondere mit r als
Länge des Ortsvektors und ϱ als Abstand von der Drehachse, betrachten wir das Trägheitsmoment
einer Kugel mit Radius R, die um eine Achse durch ihren Schwerpunkt rotiert. Das ϱ in (5.5)
gibt den Abstand von der Drehachse, das r in den Kugelkoordinaten dagegen die Länge des
Ortsvektors. 2 Einsetzen in (5.5) liefert
I = ρ
∫ R
∫2π
∫ π
r=0 ϕ=0 ϑ=0
ϱ r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ = ρ
∫ R
∫2π
∫ π
r=0 ϕ=0 ϑ=0
r 4 sin 3 ϑ dr dϑ dϕ .
Im letzten Schritt wurde verwendet, dass der Abstand ϱ von der Drehachse ist, wie in § 82
dargestellt, r sin ϑ ist. Die Integration über r und ϕ lassen sich direkt ausführen:
I = 2 5 πρR5
∫π
ϑ=0
sin 3 ϑ dϑ = 2 5 πρR5 [ cos 3 ϑ
3
] π
− cos ϑ = 2 4
0
5 r2 3 ρr3 = 2 5 mr2
Zwischenrechnung 24 Bestimmen Sie ∫ sin 3 x dx. Hinweis: sin 2 x + cos 2 x = 1.
2 In vielen Formelsammlungen finden Sie I = R r 2 dm unter der still geschwiegenen Annahme, dass r der
Abstand von der Drehachse ist. Dann führt direktes Einsetzen des Volumenelements in Kugelkoordinaten auf
die Verwendung des Buchstabens r für zwei unterschiedliche Größen – und damit einem falschen Resultat.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode