Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

436 KAPITEL 12. STATISTIK
12.1.1 Kombinatorik
§ 1622 In der Kombinatorik beschäftigen wir uns mit der Anordnung von Dingen oder
Zuständen und Abzählmethoden für Permutationen, Kombinationen und Variationen. Häufig
wird das Urnenmodell verwendet: in einer Urne befinden sich n verschiedene Kugeln.
Permutationen
§ 1623 Hier stellen wir uns die Frage: auf wie viele verschiedene Arten lassen sich diese
Kugeln anordnen, d.h. wie viele Permutationen gibt es?
Definition 91 Jede mögliche Anordnung von n Elementen heißt eine Permutation der n
Elemente. Sind alle n Elemente verschieden, so gibt es P (n) = n! Permutationen. Sind unter
den n Elementen jeweils n 1 , n 2 , ...., n k gleich (n i + n 2 + ... + n k = n mit k ≤ n), so gibt es
P w (n; n 1 , n 2 , ...., n k ) =
n!
n 1 ! n 2 ! ... n k !
verschiedene Anordnungsmöglichkeiten.
§ 1624 Das folgende Beispiel soll den Begriff illustrieren. Auf wie viele Arten lassen sich 6
verschiedene Buntstifte anordnen? Sechs Buntstifte werden auf 6 Plätzen angeordnet. Für
den ersten Platz haben wir die Auswahl aus 6 Stiften, d.h. 6 verschiedene Möglichkeiten; für
den zweiten Platz können wir aus den verbliebenen 5 Stiften auswählen usw. Damit haben
wir insgesamt P (n)=6 · 5 · 5 · 3 · 2 · 1 =6!= 720 Möglichkeiten der Anordnung.
§ 1625 Während in dem ersten Beispiel alle Elemente unterscheidbar waren, betrachten wir
jetzt den Fall, dass nicht alle Elemente unterscheidbar sind. Auf wie viele Arten lassen sich 6
Buntstifte anordnen, wenn drei davon rot sind, die anderen alle verschiedene Farben haben?
Unter der Annahme, dass die roten Buntstifte unterscheidbar wären, bekämen wir wie im
vorangegangenen Beispiel 6! Anordnungsmöglichkeiten. Da wir die roten Buntstifte jedoch
nicht unterscheiden können, sind von diesen 6! Möglichkeiten die 3! Möglichkeiten, mit denen
die drei roten Stifte in jeder Permutation angeordnet werden können, identisch. Insgesamt
verbleiben also P w (n)=6!/3!=120 Möglichkeiten.
Kombinationen
§ 1626 In diesem Fall werden aus der Urne k Kugeln gezogen (mit oder ohne Zurücklegen),
wobei die Reihenfolge der Ziehungen unberücksichtigt bleibt. Uns interessiert die Zahl möglicher
Kombinationen dieser Kugeln.
Definition 92 Die gezogenen k Kugeln bilden, in beliebiger Reihenfolge angeordnet, eine
Kombination k-ter Ordnung. Erfolgt die Ziehung der k Elemente ohne Zurücklegen, so beträgt
die Zahl der Kombinationen k-ter Ordnung ohne Wiederholung
( )
n
C(n; k) = =
k
n!
k!(n − k)! .
Erfolgt die Ziehung der k Elemente mit Zurücklegen, so gibt es
( )
n + k − 1
C w (n; k) =
k
verschiedene Kombinationen k-ter Ordnung mit Wiederholung.
§ 1627 In letzterem Fall kann k > n werden.
§ 1628 Das Standardbeispiel für Kombinationen sind die Lottozahlen. Bei der Ziehung der
Lottozahlen werden 6 Zahlen aus einem Vorrat von 49 Zahlen ohne Zurücklegen gezogen.
Dafür gibt es
( )
49
C(n; k) = C Lotto =
6
= 49! = 13 983 816
6! 43!
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode