Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

224 KAPITEL 6. KOMPLEXE ZAHLEN
Kontrollfrage 23 Ist es korrekt, komplexe Zahlen als Vektoren aufzufassen? Begründen
Sie. Gilt die Umkehrung, dass Vektoren komplexwertige Komponenten enthalten dürfen ohne
Einschränkung?
Kontrollfrage 24 Erläutern Sie die Euler-Formel, skizzieren Sie ihre Herleitung und leiten
Sie die Darstellungen der trigonometrischen Funktionen mit Hilfe der Exponentialfunktion
her.
Kontrollfrage 25 In welchen mathematischen und physikalischen Zusammenhängen lässt
sich die Euler Formel anwenden?
Kontrollfrage 26 ¬S Die Menge der komplexen Zahlen C bildet einen Körper bezüglich
Multiplikation und Addition. Welche Eigenschaften der komplexen Zahlen können Sie daraus
ableiten?
Fragen
Frage 63 Was ist der Unterschied zwischen einer komplexen und einer imaginären Zahl?
Frage 64 Beschreiben Sie verschiedene Darstellungsformen für komplexe Zahlen.
Frage 65 Skizzieren Sie die Herleitung der Darstellung der Winkelfunktion mit Hilfe der
Exponentialfunktion.
Frage 66 Was ist beim Skalarprodukt komplexer Vektoren zu beachten und warum?
Frage 67 Welche anschauliche Bedeutung hat die n te Wurzel einer komplexen Zahl?
Frage 68 In Abschn. 6.3.1 haben wir für die Herleitung der Euler Formel nicht die Taylor
Entwicklung verwendet sondern die MacLaurin Reihe, d.h. Taylor Entwicklung um a = 0.
Bedeutet das, dass die Euler Formel nur für kleine Argumente ϕ gilt? Begründen Sie! (gegeb.
Beweis)
Frage 69 Bei der Herleitung der Euler Formel in Abschn. 6.3.1 haben wir keine Exponentialfunktionen
mit komplexem sondern nur eine mit imaginärem Argument betrachtet. Könnten
Sie die Herleitung auch mit einem komplexen Argument durchführen?
Frage 70 Beweisen Sie das Additionstheorem (6.12).
Frage 71 Die binomischen Formeln geben Rechenregeln für Quadrate einer Summe: (a +
b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Für höhere Potenzen lassen sich die Koeffizienten mit Hilfe des Pascal
Dreieck
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n = 6 1 6 15 20 15 6 1
n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1
n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
bestimmen. Finden Sie unter Verwendung der Euler-Formel eine Methode zur Bestimmung
der Koeffizienten.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode