Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.5. NUMERISCHE INTEGRATION IN MATLAB 193
Abbildung 5.12: Variation der Ergebnisse für π in Abhängigkeit von der Zahl der Reiskörner
kaum noch. Im linken Teilbild in Abb. 5.11 stellt sich diese Situation anders dar: das Ergebnis
bei Reiskorn 880 ist um 0.5 größer als bei Reiskorn 960 – und selbst dieser Wert liegt
noch über dem Zielwert. Ein Run mit 1000 Schüssen gibt daher nicht notwendigerweise ein
zuverlässiges Ergebnis.
§ 755 Strategien zur Verbesserung der Ergebnisse basieren auf einer Verbesserung der Statistik.
Eine Erhöhung der Zahl der Reiskörner bietet sich an. Ein Vergleich der Ergebnisse
von 1000 und 10 000 Reiskörnern im linken und mittleren Teilbild in Abb. 5.11 legt nahe,
dass die Streuung mit zunehmender Reiskornzahl reduziert wird. Das Ergebnis weicht aber
dennoch vom Zielwert ab und zeigt auch zwischenzeitlich Trends, die für begrenzte Zeiträume
relativ große Abweichungen vom Zielwert erlauben. Selbst bei einer Erweiterung auf 100 000
Reiskörner verbessert sich dies nur geringfügig – obwohl im rechten Teilbild die Zahl der
Reiskörner (und damit die Rechenzeit) um einen Faktor 100 gegenüber dem Ergebnis im
linken Teilbild erhöht wurde.
§ 756 Ein alternativer Ansatz zur Verbesserung der Statistik ist wiederholtes Werfen von
Reiskörnern und anschließende Mittlung über die Ergebnisse. Um ein Gefühl für diesen Prozess
zu entwickeln, können wir 10 6 Reiskörner in verschiedenen Serien auf die Testfläche
fallen lassen. Als erstes werfen wir 10 000 mal mit jeweils 100 Körnern. Die Verteilung der
Ergebnisse ist im linken Teil von Abb. 5.12 gegeben. Die Verteilung ist relativ breit, die so
bestimmten Ergebnisse für π liegen in einem Intervall von 2.5 bis 3.7. Daher mag man versucht
sein, die 100-Reiskorn Serien als zu ungenau abzutun. Ein etwas genauerer Blick auf die
Verteilung zeigt jedoch, dass 46% der 100-Reiskorn Runs Werte für π im Intervall [3.1, 3.2]
liefern und damit recht dicht am Zielwert 3.1416 liegen. Der Mittelwert der Verteilung ist
übrigens 3.1446.
§ 757 Für das mittlere Teilbild in Abb. 5.12 wurde jeweils 1000 mal mit 1000 Reiskörnern
geworfen. Die Verteilung ist auf einen wesentlich engeren Bereich zwischen 3.0 und 3.35
beschränkt; im Intervall [3.1, 3.2] liegen 85% der Werte. Das Fehlen von Werten mit großen
Abweichungen vom Zielwert in dieser Verteilung hat zwei Ursachen: zum einen sind die
einzelnen Werte auf Grund der größeren Zahl von Reiskörnern genauer, zum anderen umfasst
die Verteilung insgesamt nur 1/10 der Zahl von Runs, so dass die selteneren Werte der großen
Abweichungen nicht so häufig auftreten können wie in der linken Abbildung.
§ 758 Im rechten Teilbild von Abb. 5.12 wurde 100 mal mit jeweils 10 000 Reiskörnern geworfen.
In diesem Fall liegen alle Werte im Intervall [3.1, 3.2]. Mit zunehmender Reiskornzahl
wächst also die Wahrscheinlichkeit, dass ein gegebener Run dicht am Zielwert liegt. Mit Hilfe
statistischer Verfahren lässt sich die zum Erreichen einer bestimmten Genauigkeit erforderliche
Reiskornzahl abschätzen – wir werden uns in Kap. 12 etwas genauer mit Würfeln, Münzen
und Reiskörner befassen.
Kann ein Zufall deterministisch sein?
§ 759 Im Gegensatz zum Würfeln oder zum Münzwurf kann ein Zufallszahlengenerator niemals
wirklich zufällig sein sondern basiert auf einem Algorithmus. In der Regel handelt es sich
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007