Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

388 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
§ 1458 Damit ist die Integration über d⃗s zurückgeführt auf ein gewöhnliches Integral über
dt. Die einzige Herausforderung in der Berechnung des Linienintegrals besteht, wie bereits in
Abschn. 10.3.1 angedeutet, in der geeigneten Parametrisierung des Weges. Die Berechnung
eines Linien- oder Kurvenintegrals ∫ F ⃗ · d⃗r = ∫ t 2
⃗
C t 1
F · ˙⃗rdt erfolgt daher in zwei Schritten:
1. Zunächst werden im Feldvektor ⃗ F (⃗r) die Koordinaten x, y und z durch die parameterabhängigen
Koordinaten x(t), y(t) und z(t) der Raumkurve C ersetzt, d.h. der Feldvektor
und seine Komponenten hängen nur noch von t ab. Dann differenziert man den Ortsvektor
⃗r(t) nach dem Parameter t, erhält den Tangentenvektor ˙⃗r(t) und bildet das skalare
Produkt ⃗ F · ˙⃗r aus dem Feld- und Tangentenvektor.
2. Das Skalarprodukt ⃗ F · ˙⃗r hängt jetzt nur noch vom Parameter t ab und kann in den
Grenzen von t 1 bis t 2 integriert werden.
Konservative Felder
§ 1459 Ein Beispeil für ein Linienintegral haben wir bereits eher intuitiv in § 716 betrachtet.
Dort sind wir von einem Kraftfeld ⃗ F = (yz, xz, xy) ausgegenagen, in dem eine Masse von
⃗r 1 = (0, 0, 0) m nach ⃗r 2 = (1, 1, 1) m verschoben wird entlang einer Geraden ⃗r = (t, t, t)
und längs einer Parabel ⃗r = (t, t 2 , t 4 ). Für die Arbeit entlang der Geraden haben wir mit
˙⃗r = (1, 1, 1) erhalten
W =
=
∫ r 2 ∫t 2
F ⃗ d⃗r = F ⃗ · ˙⃗r dt
r 1 t
⎛ ⎞ 1
⎛
∫ 1
⎝ t2
t 2 ⎠ · ⎝ 1 ⎞
1 ⎠ dt =
t 2 1
0
∫ 1
0
3t 2 dt = 1 Nm ,
für die Arbeit entlang der Parabel mit ˙⃗r = (1, 2t, 4t 3 )
⎛ ⎞ ⎛
∫ r 2 ∫1
W = F ⃗ d⃗r = ⎝ t6
t 5 ⎠ · ⎝ 1 ⎞
∫ 1
2t ⎠ dt = 7t 6 dt = 1 Nm .
r 1
t 3 4t 3
0
Da die Arbeit entlang der beiden unterschiedlichen Wege gleich ist, könnte es sich um ein
konservatives Kraftfeld handeln. Um zu zeigen, dass es sich um ein konservatives Kraftfeld
handelt, müssten wir alle möglichen Wege betrachten – was unmöglich ist. Ein einfacheres
Kriterium zur Bestimmung, ob ein Feld konservativ ist oder nicht, wäre daher wünschenswert.
§ 1460 Greifen wir daher nochmals auf unser physikalisches Vorwissen zurück. Ein Vektorfeld
heißt konservativ bzw. Potentialfeld wenn das Linien- oder Kurvenintegral nur vom
Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom eingeschlagenen Verbindungsweg zwischen den beiden
Punkten abhängt. Neben der Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals ist auch der Begriff
des Potentialfeldes wichtig, da er ebenfalls als Kriterium zur Identifikation eines konservativen
Feldes verwendet werden kann.
§ 1461 Fassen wir also zusammen: ein konservatives Kraftfeld kann durch die folgenden,
gleichwertigen Eigenschaften charakterisiert werden, vgl. § 1500:
0
1. Das Linienintegral ist vom eingeschlagenen Weg unabhängig – das war unsere Definition.
2. Das Vektorfeld ist als Gradient eines Potentials U darstellbar: ⃗ F = ∇U. Auch das war
Bestandteil unserer definition und wird in der Bezeichnung Potentialfeld deutlich.
3. Das Vektorfeld ist wirbelfrei: ∇ × ⃗ F = 0. Diese Aussage ist eine direkte Folgerung aus
(2); in § 1431 haben wir gezeigt, dass die Rotation eine Gradientenfeldes verschwindet.
4. Das Linienintegral entlang einer geschlossenen Kurve verschwindet: ∮ ⃗ F d⃗r = 0. Das ist
eine andere Aussage für die Wirbelfreiheit des Gradientenfeldes und kann aus dem Stokes’schen
Integralsatz (10.22) gefolgert werden.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode