Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.4. INTEGRATION VEKTORWERTIGER FUNKTIONEN 183
5.4.2 Im Vorgriff auf das Linienintegral
§ 712 Linienintegrale werden formal korrekt erst in Abschn. 10.3.2 eingeführt. Da jedoch
bereits bei einem einfachen physikalischen Problem wie der Berechnung der Arbeit ein Linienintegral
benötigt wird, wird hier eine kurze rechentechnische Möglichkeit zur Behandlung
des Linienintegrals in kartesischen Koordinaten vorgestellt. Kraft und Weg sind in kartesischen
Koordinaten gegeben, die Bewegung erfolgt so, dass sich der Weg einfach in kartesischen
Koordinaten darstellen lässt. Dann können wir das Skalarprodukt formal ausführen
und erhalten
⎛ ⎛ ⎞
W =
=
∫ ⃗r 2 ∫⃗r 2
F ⃗ · d⃗r = ⎝ F ⎞
x
F y
⎠ · ⎝ dx
dy ⎠ =
⃗r 1
F z dz
∫ ⃗r 2
⃗r 1
F x dx +
⃗r 1
∫ ⃗r 2
⃗r 1
F y dy +
∫ ⃗r 2
⃗r 1
F z dz .
∫ ⃗r 2
⃗r 1
(F x dx + F y dy + F z dz)
§ 713 Diese Gleichung ist formal zwar einfach, ihre Tücken liegen in der korrekten Angabe
des Weges und der Integrationsgrenzen. Das Wegelement d⃗r = (dx, dy, dz) muss zusammen
mit den Integrationsgrenzen in irgendeiner Form die Eigenschaften des zurück gelegten Weges
beschreiben. Bewegt sich der Körper entlang einer Geraden, so können wir das d⃗r in dieser
Form verwenden und einfach die Koordinaten als Integrationsgrenzen einsetzen. In einem
konstanten Kraftfeld, wie dem Gravitationsfeld an der Erdoberfläche, ist dies ein triviales
Problem; hier wäre das Ausführen des Skalarproduktes ⃗ F · ⃗s ausreichend gewesen, da die
einzelnen Integrale jeweils über eine Konstante ausgeführt werden, was bei einem bestimmten
Integral der Multiplikation mit der Differenz der Integrationsgrenzen entspricht.
§ 714 Das Linienintegral benötigen wir bei einem gradlinigen Weg erst dann, wenn das
Kraftfeld vom Ort abhängt, d.h. die Komponenten der Kraft sind Funktionen der Ortskoordinaten.
Dann sind die Integrale über die die einzelnen Komponenten beschreibenden
Funktionen zu nehmen. Als Beispiel betrachten wir das Gravitationsfeld auf einer größeren
Skala. Die Gravitationskraft ist dann gegeben als
⎛
⃗F = − km
x/( √ x 2 + y 2 + z 2 ) 3 ⎞
r 3 ⃗r = −km ⎝ y/( √ x 2 + y 2 + z 2 ) 3
z/( √ ⎠
x 2 + y 2 + z 2 ) 3
mit m als der Masse des Testkörpers und k als einer Konstanten, in die die universelle
Gravitationskonstante γ und die Masse des Zentralkörpers eingehen. Die in diesem Feld bei
einer beliebigen Verschiebung der Masse m von ⃗r 1 nach ⃗r 2 verrichtete Arbeit ist
⎛
⎞
∫ ⃗r 2
∫⃗r 2
∫⃗r 2
W = −km ⎝
x dx
( √ x 2 + y 2 + z 2 ) + y dy
3 ( √ x 2 + y 2 + z 2 ) + z dz
3 ( √ ⎠
x 2 + y 2 + z 2 ) 3
⎛⃗r 1
⃗r 1
⃗r 1
[
] ⃗r2 [
] ⃗r2 [
] ⃗r2
= km/2 ⎝
1
1
1
√ √ √ ⎠ .
x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 + z 2
⃗r 1
+
§ 715 Für die weitere Plausibilitätsbetrachtung setzen wir km/2 = 1. 3 Verschieben wir die
Masse vom Punkt ⃗r 1 = (2, 2, 2) zum Punkt ⃗r 2 = (−2, −2, −2). Bei Einsetzen der Integrationsgrenzen
verschwinden die rechteckigen Klammern, d.h. in diesem Fall wird keine Arbeit
3 Vorher haben wir uns natürlich an Hand einer Dimensionsbetrachtung davon überzeugt, dass wir zumindest
im Hinblick auf die Einheiten richtig gerechnet haben. k hat die Dimension Kraft K pro Masse M mal
Quadrat einer Länge L, d.h. KL 2 /M oder in SI-Einheiten Nm 2 /kg. Da der Vorfaktor mit einer Masse multipliziert
wird, verbleibt die Dimension Kraft multipliziert mit dem Quadrat einer Länge oder in SI-Einheiten
Nm 2 . Die einzelnen Summanden in der runden Klammer haben jeweils die Dimension Eins durch Länge, also
bleibt für die Arbeit die Dimension Kraft multipliziert mit Länge oder in SI-Einheiten Nm. Die Gleichung ist
also Dimensionsrichtig.
⃗r 1
+
⃗r 1
⎞
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007