Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

64 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN
Diese ist nur für sehr kleine x eine sinnvolle Annäherung, vgl. linkes Teilbild in Abb. 2.7.
Eine bessere Abschätzung ergibt sich unter zusätzlicher Berücksichtigung der Steigung der
Funktion:
f ′ 1
(x) =
(1 − x) 2 und damit f ′ (0) = 1 ,
d.h. die Gleichung der Tangente an die Kurve ist für x = 0 gegeben als y = 1 + x. f(x) lässt
sich daher für kleine x besser annähern durch
f(x) = 1
1 − x ≈ 1 + x ,
vgl. mittleres Teilbild. Auch diese Annäherung ist noch recht ungenau. Die Annäherung wird
besser, wenn auch die Änderung der Tangentensteigung berücksichtigt wird, ausgedrückt
durch die zweite Ableitung:
f ′′ (x) =
2
(1 − x) 3 und damit f ′′ (0) = 2 .
Die so verbesserte Annäherung
f(x) = 1
1 − x ≈ 1 + x + x2
ist im rechten Teilbild von Abb. 2.7 gezeigt.
Zwischenrechnung 6 Rechnen Sie die Entwicklung mit allen Zwischenschritten noch einmal
genau nach!
§ 262 Die Taylor Entwicklung aus Def. 23 lässt sich auch unter Verwendung einer Abweichung
h vom Funktionswert x schreiben als:
n∑ h n d n f(x)
f(x + h) =
n! dx n = f(x) + h 1! f ′ (x) + ... + hn
n! f n (x) + R n . (2.6)
i=0
Hier kann die Entwicklung zur Bestimmung eines unbekannten Funktioneswertes an einer
Stelle x + h aus einem bekannten Funktionswert an der Stelle x bestimmt werden. Für
x + h soll also der Funktionswert durch die Taylor Reihe bestimmt werden, die Funktion und
ihre Ableitungen an der Stelle x sind bekannt. Die sich ergebende Reihe kann irgendwann
abgebrochen werden, weil die h n immer kleiner werden – vorausgesetzt natürlich, dass x + h
innerhalb des Konvergenzradius liegt. Der sich durch den Abbruch ergebende Fehler wird
durch das Restglied R n beschrieben.
§ 263 Als Beispiel bestimmen wir mit Hilfe der Taylor Entwicklung √ 4.003. Dazu wählen
wir x = 4 (mit f(x) = 2 als bekanntem Wert) und h = 0.003 als kleiner Abweichung. Die in
der Taylor Reihe benötigten Ableitungen sind
f(x) = x 1/2 , f ′ (x) = 1 2 x−1/2 , f ′′ (x) = − 1 4 x−3/2 , f ′′′ (x) = 3 8 x−5/2 , ......
Einsetzen in (2.6) ergibt
√
4 + 0.003 = 2 +
1
4 · 3 · 10−3 − 1 2 · 1
32 · 9 · 10−6 + ... = 2.000744924 + R
Zum Vergleich: Der Rechner liefert 2.000749859, d.h. die Abweichung tritt erst in der sechsten
Nachkommastelle auf, obwohl bei der Entwicklung bereits nach dem dritten Glied abgebrochen
wurde.
§ 264 Die Taylor Entwicklung lässt sich auch auf Funktionen mehrerer Variablen (siehe
Abschn. 3.6) erweitern. Dazu betrachten wir eine von zwei Variablen x und y abhängige
Potenzreihe
∞∑
f(x, y) = a 00 + a 01 x 0 y 1 + a 10 x 1 y 0 + a 11 x 1 y 1 + . . . = a mn x n y m .
m,n=0
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode