Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

6.4. KOMPLEXE ZAHLEN MATHEMATISCH 215
X-Zahl darstellen als X = a + ib + jc mit a, b, c ∈ R und i 2 = 1. Auch ij muss in diesem neuen
Zahlensystem liegen, d.h. es muss reelle Zahlen a, b, c geben derart, dass ij = a + ib + cj.
Multiplikation mit i und auflösen nach j ergibt :
j =
b − ac − (a + bc)i
1 + c 2 ,
d.h. j ist eine komplexe Zahl, im Widerspruch zu der Annahme, es seine eine neue X-Zahl. Ein
dreidimensionales Zahlensystem funktioniert also zumindest mit den bekannten algebraischen
Regeln nicht.
§ 846 Ein vierdimensionales Zahlensystem dagegen lässt sich konstruieren. Diese Quaternionen
bestehen aus vier verschiedenen Typen grundlegender Nummern (1,i,j,k). Quaternionen
werden ihrem Entdecker Hamilton zu Ehren zur Menge H zusammen gefasst. Jedes beliebige
Quaternion ergibt sich als Summe über reelle Vielfache der grundlegenden Nummern:
q = a1 + bi + cj + dk für beliebige a, b, c, d ∈ R. Die grundlegenden Quaternionen sind
komplexe Matrizen
1 =
(
1 0
0 1
)
, i =
( ) ( )
0 1
0 i
, j =
−1 0
i 0
und k =
( )
i 0
.
0 −i
In C ist die Verknüpfung zwischen den grundlegenden Nummern von Real- und Imaginärteil
gegeben als i 2 = −1. Für die grundlegenden Quaternionen gelten die Verknüpfungsregeln: 9
1i = i1 = i 1j = j1 = j 1k = k1 = k
i 2 = −1 j 2 = −1 k 2 = −1
ij = k jk = i ki = j
ji = −k kj = −i ik = −j .
Ein Vergleich der beiden unteren Zeilen zeigt eine besondere Eigenschaft der Quaternionen:
das Kommutativgesetz gilt nicht, da ji ≠ ij. Da gilt ji = −ij sind Quaternionen antikommutativ.
Abgesehen vom fehlenden Kommutativgesetzt gelten für Quaternionen jedoch
alle die algebraischen Regeln und Eigenschaften, die auch für die komplexen Zahlen gelten.
Ebenso wie komplexe Zahlen sind Quaternionen nicht geordnet.
§ 847 Eine Vorstellung von der praktischen Verwendung von Quaternionen lässt sich in
Analogie zu den komplexen Zahlen entwickeln. Letztere lassen sich zerlegen in einen Skalar,
den Betrag, und einen Winkel; Multiplikation mit einer komplexen Zahl entspricht einer
Kombination aus Drehung um diesen Winkel und Streckung mit einem Faktor, der durch
den Betrag gegeben ist. Ein Quaternion wird ebenfalls zerlegt und zwar in einen Skalar Φ
und einen dreidimensionalen Vektor ⃗v:
{Φ, ⃗v = (x, y, z)} ⇔ q = (Φ, x, y, z) .
Daher lässt sich jeder dreidimensionale Vektor als ein Quaternion darstellen: 10
{⃗v = (x, y, z)} ⇔ q ⃗v = (0, x, y, z) .
§ 848 Eine Rotation R um eine Achse ⃗u um einen Winkel ϕ lässt sich schreiben als ⃗v →
⃗v ′ = R⃗v. Zur Durchführung lässt sich ein Rotations-Quaternion Q = (cos(ϕ/2), ⃗u sin(ϕ/2))
verwenden
q ⃗v ′ = Qq ⃗v Q −1 ⇔ ⃗v ′ = R⃗v .
9 Das sind einfach die Regeln der Matrixmultiplikation, d.h. der hier explizit aufgeschriebene Regelsatz ist
kein eigenständiger neuer Regelsatz sondern nur eine umständliche Formulierung dafür, dass auf Grund der
Struktur der elementaren Elemente in H die Multiplikation den Regeln der Matrixmultiplikation gehorchen
muss. Daher ist auch die Anti-Kommutativität keine neue Regel sondern ergibt sich bereits aus den Regeln
der Matrixmultiplikation.
10 Die Umkehrung gilt natürlich nicht: die meisten Quaternionen lassen sich nicht als dreidimensionaler
Vektor darstellen. Ein ähnlicher Zusammenhang gilt auch zwischen R und C: jede reelle Zahl a lässt sich
als eine komplexe Zahl z = a + 0ı darstellen, aber die meisten komplexen Zahlen lassen sich nicht als reelle
Zahlen darstellen.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007