Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.5. NUMERISCHE INTEGRATION IN MATLAB 187
§ 729 Auf Grund dieses offensichtlichen Vorteils werden die folgenden numerischen Verfahren
stets als Funktionen und mit Hilfe eines Handles zur Beschreibung der zu integrierenden
mathematischen Funktion eingeführt.
5.5.3 Simpson Regel
§ 730 Bei der Simpson Regel wird der Integrand durch ein Polynom zweiten Grades angenähert.
Für die Teilintegrale werden dazu in einem Intervall ∆x Funktionswerte an den
Intervallgrenzen x k und x k−1 bestimmt sowie in der Intervallmitte x mk . Für das Integral
ergibt sich
I Simpson = 1 6
M∑
(f(x k−1 ) + 4f(x mk ) + f(x k ))∆x .
k=1
§ 731 Für das Integral aus § 720 lässt sich das Simpson-Verfahren in folgender MatLab-
Funktion realisieren:
function I = simpsonfunk(f,a,b,M)
deltx=(b-a)/M; x=[a:deltx:b]; xm=[a+deltx/2:deltx:b-deltx/2];
for k=1:M;
y(k) = (feval(f,x(k))+4*feval(f,xm(k))+feval(f,x(k+1)))*deltx/6;
end
I=sum(y);
§ 732 Der Aufruf erfolgt wie bei trapezfunk; zum Vergleich können auch beide Funktionen
aus einem Skript heraus gestartet werden.
§ 733 Als Ergebnis für die Standard-Eingabeparameter erhalten wir 60.000. Das Simpson
Verfahren liefert also bereits für recht kleine Schrittzahlen M bzw. recht große Schrittweiten
∆x bessere Ergebnisse als die beiden anderen Verfahren, wie aus der folgenden Tabelle zu
erkennen ist:
M 1 2 5 10 20 50 100 200 500
∆x 2 1 0.4 0.2 0.1 0.04 0.02 0.01 0.004
I 60 60 60 60 60 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000
5.5.4 Adaptives Simpson-Verfahren
§ 734 Durch geeignete Wahl der Schrittweite kann man mit Hilfe des Simpson-Verfahrens
sehr genaue Ergebnisse für die numerische Integration erzielen. Diese werden, wie bei jedem
numerischen Verfahren, mit abnehmender Schrittweite immer besser (sorry, in obigem
Beispiel waren sie leider zu gut). Ein sehr feines Gitter bedeutet jedoch auch eine lange Rechenzeit.
Dieses feine Gitter ist aber nicht erforderlich in den Bereichen, in denen sich eine
Funktion nur schwach ändert bzw. die Änderung der Funktion konstant ist: im Extremfall
konstanter Intensität in einem Bereich der Funktion reicht ein einziges Rechteck oder Trapez,
im Fall konstanter Steigung ein einziges Trapez ausreichend.
§ 735 Allgemein muss die Gitterweite um so feiner sein, je stärker sich die Funktion bzw.
ihre Steigung ändert. Bei Funktionen, die sich in einigen Bereich stark, in anderen kaum
verändern, ist daher die Verwendung eines feinen Gitters über den gesamten Integrationsbereich
zwar eine sichere aber auch eine rechenintensive Methode. Besser wäre die Verwendung
eines feinen Gitters in einigen Bereichen und eines groben Gitters in anderen, vgl.
Abb. 5.7. Dann kann bei gleicher Rechengenauigkeit Rechenzeit gespart werden. Eine derartige
Anpassung des Integrationsverfahrens an die Funktion ist in MatLab als adpatives
Simpson-Verfahren realisiert und wird mit der Funktion quad aufgerufen.
quad
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007