Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

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+
⎛
⎝ −3
⎞ ⎛
4 ⎠ × ⎝ 2 ⎞ ⎛
0 ⎠ = ⎝ 0 ⎞ ⎛
0 ⎠ + ⎝ 0 ⎞ ⎛
0 ⎠ + ⎝ 0 ⎞ ⎛
0 ⎠ + ⎝ 0 ⎞ ⎛
0 ⎠ + ⎝ 0 ⎞ ⎛
0 ⎠ = ⎝ 0 ⎞
0 ⎠ Nm .
0 0 0 −16 −18 0 −8 −42
Die Scheibe ist also nicht im Gleichgewicht und wir benötigen ein zusätzliches Drehmoment
⃗D 6 = (0, 0, 42) Nm, um sie in selbiges zu bringen. Dazu muss an einem Ort ⃗r eine Kraft ⃗ F
angreifen mit ⃗ D 6 = ⃗ F × ⃗r. Da wir eine Ebene Scheibe betrachten, müssen bei Kraft und Ort
die jeweils dritten Komponenten verschwinden und wir erhalten als Bestimmungsgleichungen:
0 = r y F z − r z F y ,
0 = r z F x − r x F z ,
42 Nm = r x F y − r y F x .
Die ersten beiden Gleichungen sind wegen F z = 0 und r z = 0 stets erfüllt, die letzte Gleichung
enthält vier unbekannte Größen, d.h. es gibt keine eindeutige Lösung – die würden wir aber
physikalisch auch nicht erwarten. Wählen wir die Kraft ⃗ F = (0, 7) N, so ergibt sich für den
Ort, an dem sie angreifen muss ⃗r = (6, y) m mit y beliebig.
Aufgabe 20: (a) Volumen aus Spatprodukt V = |(⃗a× ⃗ b)·⃗c| = 4 VE. (b) da im anschließenden
Aufgabenteil der auf der Grundfläche senkrecht stehende Vektor gefordert ist, bestimmen
wir den Winkel gleich aus dem Vektorprodukt: ⃗ d = ⃗a × ⃗ b = (0, 0, 2) und damit sin α =
|⃗a × ⃗ b|/(|⃗a| | ⃗ b|) = 1/ √ 2 ⇒ α = 0.785, entsprechend 45 ◦ . (c) ⃗ d aus Teil (b) steht senkrecht
auf der Grundfläche, der Winkel zwischen ⃗ d und ⃗c lässt sich über eines der beiden Produkte
bestimmen zu δ = 0.464 oder 26.565 ◦ . (e) Raumdiagonale ⃗ f = ⃗a + ⃗ b + ⃗c = (4, 1, 2) hat den
Betrag √ 21, also Einheitsvektor ⃗e ⃗f = (4, 1, 2)/ √ 21.
Aufgabe 21: das Magnetfeld bewirkt eine Beschleunigung im Sinne einer Richtungsänderung,
das elektrische Feld eine Beschleunigung im Sinne der Änderung des Betrags der Geschwindigkeit.
Da das Elektron senkrecht zu beiden Feldern einfliegt, wird es vom Magnetfeld senkrecht
zu beidem, Magnetfeld- und Bewegungsrichtung, durch die Lorentzkraft ⃗ F L = q⃗v × ⃗ B abgelenkt
(auf eine Kreisbahn, wenn keine weiteren Kräfte wirken würden), vom elektrischen Feld
jedoch durch die Kraft ⃗ F E = q ⃗ E in Richtung des Feldes beschleunigt. Damit das Elektron
gradlinig fliegt, müssen sich beide Beschleunigungen gerade aufheben: q ⃗ E = q⃗v × ⃗ B. Da nach
Voraussetzung ⃗v ⊥ ⃗ E können wir zu Beträgen übergehen und erhalten als Bedingung für die
gradlinige Flugbahn v = E/B = 1000 V/m/(5 × 10 −4 T) = 2 · 10 6 m/s.
Aufgabe 22: das Drehmoment ist ⃗ D = ⃗r × ⃗ F = ⃗ω P × ⃗ L. Aus der
Skizze wird die Lage der Vektoren und Winkel deutlich, so dass wir
alternativ auch schreiben können rmg sin β = Iω p ω sin β. Für das
Trägheitsmoment I ergibt sich daraus I = rmg/(ωω P ) = 0.17 ×
10 −3 kg m 2 und damit für den Drehimpuls des Kreisels vor der Auslenkung
L = Iω = 1.07 × 10 −2 kg m 2 s −1 .
Aufgabe 23: der Wanderer quält sich gegen die Gewichtskraft ⃗ F =
m⃗g = (−100, −900, −400) N den Berg hinauf und verrichtet dabei
eine Arbeit W = ⃗ F · ⃗s = −8040 kJ gegen die Schwerkraft – als
Diätprogramm ist das etwas enttäuschend, da das gerade mal dem
Energieinhalt von 200 g Schokolade entspricht.
Aufgabe 24: um das Problem in das konventionelle Bezugssystem (Gravitationskraft nach
unten) zu überführen, benötigen wir eine Transformation, die den Vektor ⃗g = (−1, −9, −4) m/s 2
aus Aufgabe 23 nach ⃗g = (0, 0, − √ 98) m/s 2 transformiert. Die Verwendung einer Transformationsmatrix
wie in Abschn. 8.4.2 ist uns noch nicht möglich, wir können nur auf die
Informationen aus § 160 zurück greifen: ....
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007