Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

296 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 7.27: Vergleich
verschiedener
Lösungsverfahren für
gewöhnliche Differentialgleichungen
in
MatLab
einer Kombination zweier Runge–Kutta Verfahren, nämlich 2. und 3. Ordnung. Es ist daher
schneller aber auch weniger genau, d.h. seine Genauigkeit ist von nur niedriger Ordnung.
Dennoch kann es für schnelle Abschätzungen sinnvoll sein, bei einigen Differentialgleichungen
auch Genauigkeiten liefern, die mit denen von ode45 vergleichbar sind.
§ 1117 ode113 ist im Gegensatz zu den beiden anderen Methoden kein einstufiges Verfahren
sondern ein mehrstufiges. Die sich daraus ergebende höhere Genauigkeit und Stabilität erkaufen
wir mit einem mehrstufigen Verfahren und entsprechend größerer Rechenzeit. Daher
ist ode113 nicht unbedingt das erste Verfahren mit dem man einer gewöhnlichen Differentialgleichung
auf den Leib rücken sollte. Es ist aber ein Verfahren, das eventuell auch für DGLs
eine Lösung liefert, am denen ode45 scheitert.
§ 1118 Ein Vergleich der verschiedenen Lösungsverfahren für nicht-steife DGLs ist in Abb. 7.27
gezeigt, wieder für die DGL aus § 1085. Da die numerischen Lösungen in den MatLab-Solvern
mit adaptivem Gitter erfolgen, liefert jedes Lösungsverfahren ein anderes Gitter, erkennbar
am Abstand der Symbole.
§ 1119 In der graphischen Darstellung des Ergebnisses in Abb. 7.27 lassen sich in den berechneten
Funktionsverläufen keine Unterschiede erkennen. Die handgestrickte Lösung ist mit
einer Zahl von 100 Schritten berechnet. Aus der Symboldichte erkennen wir, dass die Lösung
mit ode45 mit einer geringeren Zahl von ca. 40 Schritten bestimmt wurde, bei den anderen
Verfahren eine deutlich geringere Zahl von Schritten ausreichend war (bei ode113 etwas
unter 20, bei ode23 sogar nur 12). Die Abweichung von ode45 von der analytischen Lösung
ist etwas geringer als die in unserem selbst gestrickten Runge–Kutta-Verfahren 4. Ordnung;
ode23 liefert deutlich größere Abweichungen und ist in diesem Fall sogar ungenauer als das
Leapfrog-Verfahren. ode113 liefert eine höhere Genauigkeit als die anderen Verfahren. Bei
ode45 erkennt man, dass sich die Schrittweite im Laufe des Verfahrens ändert; insbesondere
zu den Rändern des Integrationsbereichs wird die Schrittweite reduziert.
Vergleich aller Verfahren
§ 1120 Die anderen in Tab. B.8 gegebenen Lösungsverfahren beziehen sich auf Differentialgleichungen,
in denen eine Zerfallskonstante wichtig ist. Das ist in unserer Beispielfunktion
nicht der Fall, daher liefert die Anwendung dieser Verfahren keine optimalen Ergebnisse,
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode