Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.3. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 331
Die durch die inverse Matrix an einem beliebigen Vektor ⃗a bewirkte Operation unterscheidet
sich von (8.18) demnach nur durch die Vorfaktoren: statt der Eigenwerte λ i werden deren
Kehrwerte 1/λ i verwendet oder formal
A −1 ⃗a =
N∑
i=1
1
λ i
⃗x i (⃗x i · ⃗a) .
Dies ist genau dann erfüllt, wenn der Zusammenhang zwischen der inversen Matrix A −1 und
der Matrix X der Eigenvektoren gegeben ist durch
A −1 = XΛX T bzw. Λ = X T A −1 X . (8.19)
Darin ist Λ eine Diagonalmatrix, die die Kehrwerte der Eigenwerte enthält:
⎛
Λ = ⎝ 1/λ ⎞
1 0 0
0 1/λ 2 0 ⎠ . (8.20)
0 0 1/λ 3
Mit (8.20) lässt sich die inverse Matrix aus der Kenntnis der Eigenwerte und -vektoren
bestimmen. Für den Fall, dass einer oder mehrere der Eigenwerte Null sind, versagt das
Verfahren, da dann das entsprechende Element in (8.20) nicht definiert ist. Da eine Matrix
mit einem oder mehreren verschwindenden Eigenwerten singulär ist, kann sie ohnehin nicht
invertiert werden.
§ 1244 Die Matrix aus § 1219 hat die Eigenvektoren ⃗x 1,2 = (±1, 1). Um diese Matrix zu
diagonalisieren, stellen wir aus den Eigenvektoren eine Transformationsmatrix
( )
1 1
X = ( ⃗x 1 ⃗x 2 ) =
−1 1
auf mit der inversen Matrix
X −1 = 1 ( )
1 −1
.
2 1 1
Für die Diagonalmatrix erhalten wir dann mit (8.19)
A diag = 1 ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 −1 3 0
=
2 −1 1 2 1 1 1 0 −1
mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen.
8.3.5 Hauptachsentransformation
§ 1245 Wir werden die Hauptachsentransformation in § 8.4.3 am Beispiel des Trägheitstensors
in einem sehr anschaulichen Sinne kennen lernen. Mathematisch ....
8.3.6 Tensoren
§ 1246 Der Abschnitt ist eigentlich überflüssig. Da der Begriff Tensor in der Physik jedoch
sehr häufig auftritt, sollten Sie ihn zumindest einmal gehört haben. Als Beispiel werden wir
in Abschn. 8.4.3 den Trägheitstensor kennen lernen: ein Gebilde in Form einer Matrix, das
jedoch keine Abbildung beschreibt sondern Eigenschaften eines Körpers.
Definition 83 Ein Tensor T n ter Stufe ist eine physikalische oder mathematische Größe,
die sich in einem kartesischen Koordinatensystem K durch 3 n Elemente beschreiben lässt,
und für die bei einer Transformation in ein Koordinatensystem K’ die Regeln der linearen
Transformation (8.23) gelten.
§ 1247 Ein Tensor 0. Stufe hat eine Komponente, er ist ein Skalar. Sein Wert ist in allen
Koordinatensystemen gleich (Invarianz des Skalars). Ein Tensor 1. Stufe hat 3 Komponenten;
ein Vektor ist ein Tensor 1. Stufe. Ein Tensor 2. Stufe hat 9 Komponenten, die sich in
Matrixform darstellen lassen; eine Matrix ist ein Tensor 2. Stufe.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007