Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.3. HANDWERKSZEUG 131
Abb. 4.6. Da die Funktion differenzierbar ist, muss sie alle Argumente zwischen a und b annehmen.
Dabei ändert sich die Richtung der Tangente von einem Punkt zum nächsten und
wird in einem Punkt parallel zur Sekante zwischen a und b sein. Der Satz von Rolle ist der
Spezialfall des Mittelwertsatzes für f(a) = f(b).
§ 511 Zum Beweis des Mittelwertsatzes betrachten wir eine Funktion
F (x) = f(b) − f(x) − b − x (f(b) − f(a)) .
b − a
Diese Funktion verschwindet für x = a und x = b. Ist F (x) = const, so ergibt sich der
Mittelwertsatz direkt. Daher nehmen wir an, dass F (x) nicht konstant ist. Dann muss die
Funktion zwischen a und b einige positive und/oder negative Werte annehmen. Nehmen wir
an, die Werte seien positiv. Da f(x) differenzierbar ist, ist f(x) auch stetig. Also muss auch
F (x) stetig sein. Damit muss das zwischen a und b liegende Maximum von F (x) endlich
sein. Also gibt es ein c mit a < c < b, in dem die Funktion ihr Maximum annimmt und
damit eine waagerechte Tangente hat: F ′ (c) = 0. Drücken wir diese Ableitung mit Hilfe der
Ausgangsfunktion f(x) aus:
F ′ (x) = −f ′ f(b) − f(a)
(x) + .
b − a
Für x = c ist diese genau der Mittelwertsatz.
§ 512 Die Regel von l’ Hôpital (3.1) lässt sich mit Hilfe des Mittelwertsatzes beweisen. Dazu
wenden wir den Mittelwertsatz auf jede der Funktionen f(x) und g(x) an. Dann können wir
für jedes ε > 0 Zahlen c 1 und c 2 finden mit
f(a + ε)
g(a + ε) = f(a) + εf ′ (c 1 )
g(a) + εf ′ (c 2 )
a < c 1 , c 2 < a + ε .
Die Regel von l’ Hôpital wird nur angewendet, wenn beide Funktionen an der interessierenden
Stelle den Wert Null annehmen, d.h. nach Voraussetzung ist f(a) = g(a) = 0 und damit
f(a + ε)
g(a + ε) = f ′ (c 1 )
f ′ (c 2 )
a < c 1 , c 2 < a + ε .
Lassen wir nun ε gegen Null gehen, so steht auf der linken Seite die gesuchte Größe und auf
der rechten Seite streben c 1 und c 2 an a:
f(x)
lim
x→a g(x) = lim f ′ (x)
x→a g ′ (x) = f ′ (a)
g ′ (a) .
Das ist aber gerade die Regel von l’ Hôpital.
§ 513 Auch der Mittelwertsatz lässt sich an einem einfachen physikalischen Beispiel illustrieren.
Betrachten wir wieder eine Bewegung. Die Sekantensteigung gibt die mittlere Geschwindigkeit.
Der Mittelwertsatz besagt, dass diese irgendwo im Intervall angenommen wird. Die
Aussage ist trivial im Falle konstanter Geschwindigkeit. Ist die Geschwindigkeit nicht konstant,
so ist sie am Anfang des Intervalls größer/kleiner als die mittlere Geschwindigkeit, am
Intervallende dagegen kleiner/größer. Dann muss der Körper von v Anf auf v End beschleunigt
werden. Da dieser Vorgang stetig (ohne Sprünge) erfolgt, nimmt er dabei irgendwann die
zwischen v Anf und v End liegende mittlere Geschwindigkeit an.
4.3 Handwerkszeug
§ 514 Das fürs Differenzieren benötigte Handwerkszeug zerfällt in zwei Teile: eine kleine
Tabelle der wichtigsten Ableitungen sowie eine Sammlung von Differentiationsregeln, mit
deren Hilfe die Grundableitungen so kombiniert werden, dass auch komplexere Ausdrücke
differenziert werden können. Wir haben zwar in Abschn. 4.2.3 gesehen, dass für physikalische
Anwendungen eigentlich eine einzige Ableitungsregel ausreicht, aber da Sie vielleicht nicht
in jeder Situation eine Reihenentwicklung vornehmen wollen, ist die Tabelle der Grundableitungen
nicht ganz überflüssig.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007