Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

188 KAPITEL 5. INTEGRATION
Abbildung 5.7: Zur Idee eines adaptiven Verfahrens
der numerischen Integration: in Bereichen,
in denen sich die Funktion kaum
ändert oder mit konstanter Steigung (blau)
sind große Schrittweiten ausreichend, bei
schnellen Änderungen (rot) werden dagegen
kleine Schritte benötigt. Im grün markierten
Bereich ist eine mittlere Schrittweite ausreichend.
Ein adaptives Verfahren passt sich
entsprechend an
§ 736 Das adaptive Simpson-Verfahren angewandt auf unsere Beispielfunktion ist
>> a=2; b=4; fun = @(x) 3*x.*x +2; ←↪
>> I = quad(f,a,b) ←↪
I =
60
wobei fun wieder die Funktion und a und b die Grenzen geben, in denen diese Funktion
integriert werden soll. Beim Aufruf von quad lässt sich eine Toleranz als weiterer Parameter
angeben, die MatLab anweist, bis zu welcher Genauigkeit die Integration erfolgen soll (und
damit auch, wie zeitintensiv diese sein darf).
§ 737 Statt der Zuweisung der Funktion zu einer Variablen kann die Funktion auch direkt
als Parameter beim Funktionsaufruf übergeben werden:
>> I = quad(’3*x. ∧ 2+2’,2,4) ←↪
5.5.5 Weitere MatLab Funktionen
§ 738 Für die numerische Integration stehen in MatLab abgesehen von den oben gegebenen
einfachen Selbstbau-Skripten zusammen mit quad verschiedene Funktionen zur Verfügung:
• quad verwendet ein adaptives Simpson-Verfahren für die numerische Integration wie bereits
beschrieben.
• quadl verwendet ein adaptives Lobatto-Verfahren; die Syntax zum Aufruf von quadl entspricht
der von quad.
• dblquad kann für Doppelintegrale verwendet werden. Sie basiert auf einem adaptiven
Simpson-Verfahren, der Funktion werden beim Aufruf dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)
neben der Funktion fun die Integrationsgrenzen in x und y übergeben.
• triplequad hilft bei der numerischen Lösung von Dreifachintegralen und basiert ebenfalls
auf einem adaptiven Simpson-Verfahren. Hier werden insgesamt sieben Parameter
übergeben: die Funktion sowie die drei Paare von Integrationsgrenzen.
Die MatLab-Funktionen folgen in ihrer Syntax alle dem bei quad besagten; nähere Informationen
bietet die MatLab-Hilfe.
5.5.6 GUI zur numerischen Integration
§ 739 Die Datei numint enthält ein einfaches GUI zu numerischen Integration von Funktionen,
vgl. Abb. 5.8. 4 Die Eingabeparameter (rechts oben) beschränken sich auf die Funktion,
die untere und obere Grenze sowie die Schrittzahl. Über das Pop-Up Menü können die verschiedenen
bisher diskutierten Verfahren zur numerischen Integration ausgewählt werden. Als
Ergebnis wird im linken Teil der Funktionsgraph im zu untersuchenden Bereich geplottet,
der Wert des sich ergebenden Integrals ist ebenfalls angegeben.
4 Der vollständige Code findet sich im Anhang in Abschn. B.6.2.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode