Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

11.3. WELLENGLEICHUNG 421
§ 1560 Zuerst separieren wir wieder in einen räumlichen und einen zeitlichen Anteil. Mit −β 2
als Separationskonstante ergibt sich die zeitliche Abhängigkeit wie in (11.16), die räumliche
Abhängigkeit R(ϑ, ϕ) wird
[
1 1
a 2 sin ϑ
∂
∂ϑ
(
sin ϑ ∂R
∂ϑ
)
+ 1 ∂ 2 ]
R
sin 2 ϑ ∂ϕ 2 + β 2 R = 0 . (11.24)
Dieser Anteil lässt sich seinerseits separieren in eine Polarabhängigkeit Θ(ϑ) und eine azimuthale
Abhängigkeit Φ(ϕ):
R(ϑ, ϕ) = Θ(ϑ) Φ(ϕ) .
Mit der Separationskonstante µ erhalten wir dann
0 = 1 (
d
sin ϑ dΘ ) (
+ β 2 a 2 − µ )
sin ϑ dϑ dϑ
sin 2 Θ
ϑ
und 0 = d2 Φ
dϕ 2 + µΦ .
§ 1561 Die zweite Gleichung ist eine konventionelle Schwingungsgleichung. Ihre Lösung
ändert sich nicht, wenn das ganze System um 2π gedreht wird: R(ϑ, ϕ) = R(ϑ, ϕ + 2π).
Die Lösung für den azimuthalen Anteil ist daher
Φ(ϕ) = e imϕ mit µ = m 2 .
Die erste Gleichung lässt sich damit schreiben
(
1 d
sin ϑ dΘ )
)
+
(β 2 a 2 − m2
sin ϑ dϑ dϑ
sin 2 Θ = 0 . (11.25)
ϑ
§ 1562 Mit Hilfe einer neuen Variablen x = cos ϑ lässt sich (11.25) schreiben als
[
d (1
− x
2 ) ]
)
dΘ
+
(β 2 a 2 − m2
dx dx
1 − x 2 Θ = 0 . (11.26)
Diese Differentialgleichung wird durch die Legendre Polynome Pn
m gelöst, siehe auch Abschn.
7.7.4. Ähnlich den Bessel Funktionen in einer zylindersymmetrischen Geometrie erhalten
wir hier in einer kugelsymmetrischen Geometrie aus einem einfachen Schwingungsproblem
eine neue Klasse von Funktionen, die über eine Differentialgleichung definiert sind.
Zwischenrechnung 61 Verifizieren Sie den Übergang von (7.31) auf (11.26.
§ 1563 Als Gesamtergebnis für die Schwingungsmoden auf einer Kugeloberfläche erhalten
wir durch Kombination des polaren und des azimuthalen Anteils
√
Y nm =(−1) m (2n + 1)(n − m)
Pn m (cos ϑ) e imϕ für m ≥ 0 . (11.27)
4π(m + n)
Der Vorfaktor ergibt sich aus der Normierung bei Integration über die Kugeloberfläche
∫
|Y nm | 2 dΩ = 1 .
In einigen Darstellungen wird (11.27) auch ohne Normierung in der Form
Ỹ nm = P m n (cos ϑ) e imϕ
angegeben. Auch in dieser Form werden die Schwingungsmoden einer Kugeloberfläche korrekt
beschrieben.
§ 1564 Die Schwingungsmoden der Kugeloberfläche werden als sphärische Harmonische oder
Kugelflächenfunktionen bezeichnet. Eine sphärische Harmonische Y nm hat m Schwingungen
entlang eines Breitenkreises. Die Zahl der Schwingungen zwischen Nord- und Südpol der
Kugel nimmt mit zunehmender Differenz n − m zu. Die assoziierten Legendre Polynome
P m n (cos ϑ) verhalten sich wie stehende Wellen, deren Amplitude vom Nordpol her abnimmt.
Damit verhalten sie sich ähnlich wie Bessel Funktionen.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007