Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

438 KAPITEL 12. STATISTIK
§ 1635 Beispiele für Zufallsexperimente sind der Münzwurf, Würfeln oder die Ziehung der
Lottozahlen. Die möglichen, sich gegenseitig ausschließenden Ergebnisse eines Zufallsexperiments
heißen Elementarereignisse.
Definition 95 Die Ereignisse A 1 , A 2 , A 3 , ..., A n heißen Elementarereignisse, falls sie paarweise
disjunkt sind. Ω = {A 1 , A 2 , A 3 , ..., A n } heißt Ereignisraum oder Ergebnismenge; ein
Ereignis ist eine Teilmenge von Ω.
Wahrscheinlichkeit
§ 1636 Bei einem Laplace-Experiment mit der Ereignismenge Ω = {A 1 , A 2 , ..., A n } besitzen
alle Elementarereignisse A i die gleiche Wahrscheinlichkeit
p(A i ) = 1 n .
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses A ist
p(A) = g(A)
n
Zahl der günstigen Versuchsausgänge
=
Zahl der möglichen Versuchausgänge
mit g(A) als der Zahl der für das Ereignis A günstigen Fälle, d.h. der Fälle, in denen das
Ereignis eintritt.
§ 1637 Jedem Ereignis A eines Zufallsexperiments mit der Ereignismenge Ω wird eine reelle
Zahl p(A), die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, so zugeordnet, dass nach Kolmogoroff
die folgenden Axiome erfüllt sind:
1. p(A) ist eine nicht-negative Zahl, die höchstens 1 ist: 0 ≤ p(A) ≤ 1.
2. Für das sichere Ereignis A gilt: p(A) = 1 (p(Ω) = 1).
3. Für paarweise sich gegenseitig ausschließende Ereignisse gilt
p(A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ ...) = p(A 1 ) + p(A 2 ) + p(A 3 ) + ... .
Sich ausschließende Ereignisse beim Würfeln sind z.B. die einzelnen Zahlen oder die
beiden Ereignisse ‘gerade Zahl’ und ‘ungerade Zahl’. Nicht ausschließend dagegen wären
die Ereignisse ‘ungerade Zahl’ und ‘Zahl kleiner 4’.
§ 1638 Aus den Kolmogoroff-Axiomen lassen sich die folgenden Eigenschaften der Wahrscheinlichkeiten
herleiten:
1. Für das unmögliche Ereignis ⊘ gilt p(⊘) = 0.
2. Für das zum Ereignis A komplementäre Ereignis A gilt: p(A) = 1 − p(A).
3. Für zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A und B folgt aus Axiom 3: p(A∪B) =
p(A)+p(B). Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A oder B ist gleich der Summe
der Wahrscheinlichkeiten von A und B (Additionssatz für sich gegenseitig ausschließende
Ereignisse).
Der Additionssatz für zwei beliebige Ereignisse lautet
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) , (12.1)
d.h. es werden die Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse addiert und zur Korrektur die
Wahrscheinlichkeiten der auf diese Weise doppelt gezählten, sowohl in A als auch in B auftretenden
Elementarereignisse abgezogen.
§ 1639 Die Menge der Elementarereignisse beim Würfeln ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Da es sich
um ein Laplace-Experiment handelt, sind die Wahrscheinlichkeiten dieser Elementarereignisse
p(k) = 1 6 . Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln ist p(gerade Zahl) = 3 6 = 1 2 ,
da es genau drei günstige Fälle (A = {2, 4, 6}) gibt. Ebenso erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit,
eine Zahl kleiner 4 zu würfeln, eine Ergebnismenge B = {1, 2, 3} und damit g(B) = 3,
also p(Zahl kleiner 4) = 3 6 = 1 2
. Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl oder eine Zahl kleiner
4 zu würfeln, also A ∪ B, ist gemäß (12.1) p(A ∪ B) = 1 2 + 1 2 − 1 6 = 5 6
, da A ∩ B = {2}
ist und damit p(A ∩ B) = 1/6.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode