Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

2.3. REIHEN 59
Abbildung 2.6: Alternierend harmonische
Reihe: der Verlauf legt Konvergenz nahe,
beweist sie aber natürlich nicht
Harmonische Reihe
§ 240 Für die harmonische Reihe ist die Möglichkeit der Konvergenz nicht einfach zu beurteilen.
Die harmonische Folge ist eine Nullfolge, d.h. wir können nicht ausschließen, dass die
harmonische Reihe möglicherweise konvergiert. Andererseits zeigt ein einfacher Test mit dem
Rechner, dass die Reihe zumindest bis n = 10 10 keine Anzeichen für Konvergenz erkennen
lässt, vgl. Abb. 2.5. Dieser experimentelle Test schließt aber nicht aus, dass die Reihe einige
oder etliche Größenordnungen später nicht mehr weiter wächst und konvergiert.
§ 241 Zerlegen wir die Reihe zur genaueren Untersuchung in Intervalle [2 m , 2 m+1 − 1]. Jedes
Intervall ist doppelt so groß wie sein Vorgänger und enthält 2 m Terme, die alle kleiner sind
als der 2 m+1 te. Der Beitrag der Zahlen aus dem betrachteten Intervall zur harmonischen
Serie ist daher größer als 2 m /2 m+1 :
2 m+1 ∑−1
a k > 2m
2 m+1 = 1 2 > ε .
k=2 m
Für jedes n ist daher die Potenzreihe s n größer als n/2: die harmonische Reihe wächst also
über jede reelle Zahl hinaus und ist damit divergent.
§ 242 Die harmonische Reihe ist ein Sonderfall, der sich genau auf der Grenze zwischen
Konvergenz und Divergenz befindet. Sie ist ein Spezialfall einer allgemeineren Reihe
∞∑ 1
{ ∞ falls δ ≤ 0
n 1+δ = A ∈ R falls δ > 0
n=1
Alternierend harmonische Reihe
§ 243 Die Tatsache, dass die der alternierend harmonischen Reihe zu Grunde liegende Folge
eine Nullfolge ist, besagt nur, dass die Reihe konvergent sein könnte. Ein vorsichtiges Antesten
mit dem Rechner legt den Verdacht nahe, dass die alternierend harmonische Reihe
im Gegensatz zur harmonischen konvergieren könnte, vgl. Abb. 2.6. Für eine Abschätzung
können wir die Reihe umschreiben:
S = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + . . .
= 1 2 + ( 1
3 − (
4) 1 + 1
5 − 6) 1 + . . .
= 1 − ( 1
2 − (
3) 1 − 1
4 − (
5) 1 − 1
6 − 7) 1 − . . .
Da die Klammern jeweils positive Ausdrücke ergeben, muss für den Grenzwert gelten
1
2 < S < 1 ,
d.h. die Reihe konvergiert. Ein formaler Nachweis der Konvergenz erfolgt mit Hilfe des Leibniz
Kriteriums (siehe § 248–250).
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007