Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

134 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
Abbildung 4.7: Zykloide mit ihrer
Ableitung
an der Stelle x A = 1 ist y A = −1 und damit
[ ] dy
= − 3 − 1
dx −2 + 1 = − 2 −1 = 2 .
x=1
4.3.4 Ableitung einer in Parameterform dargestellten Funktion
§ 522 Die Ableitung einer Funktion bzw. Kurve mit der Parameterdarstellung x = x(t) und
y = y(t) kann aus den Ableitungen der beiden Parametergleichungen nach dem Parameter t
bestimmt werden zu
y ′ = ẏ
ẋ
mit
ẋ = dx
dt
und
ẏ = dy
dt .
Auch wenn es auf den ersten Blick so erscheint, das Differential dt wurde nicht einfach aus dem
Quotienten gekürzt. Stattdessen wird Die Funktion y = f(x(t)) als eine verkettet Funktion
auggefasst. Bei der Ableitung nach t muss dann die Kettenregel berücksichtigt werden:
dy
dt = dy dx
dx dt
oder ẏ = y ′ ẋ bzw. y ′ = ẏ
ẋ .
§ 523 Eine Zykloide ist die Bahn, die ein Punkt auf dem Umfang eines Kreises mit Radius r
beschreibt, wenn dieser abrollt, siehe Abb. 4.7. Die Gleichung der Zykloide in Parameterform
ist
x = r(t − sin t) und y = r(1 − cos t) .
Um die Ableitung y ′ der Zykloide zu erhalten, leiten wir zuerst beide Gleichungen nach dem
Parameter t ab:
ẋ = r(1 − cos t) und ẏ = r sin t .
Division liefert für die Ableitung
y ′ = ẏ
ẋ = sin t
1 − cos t .
§ 524 Dieses Verfahren lässt sich auch auf in Polarkoordinaten gegebene Kurven r = r(ϕ)
anwenden. In der Parameterform ist eine Kurve in Polarkoordinaten
x = r(ϕ) cos ϕ und y = r(ϕ) sin ϕ
mit ϕ als Parameter. Die Steigung der Tangente an die Kurve ist damit
y ′ = ẏ d/dt (r(ϕ) cos ϕ) ṙ(ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ
= =
ẋ d/dt(r(ϕ) sin ϕ) ṙ(ϕ) cos ϕ − r(ϕ) sin ϕ . (4.3)
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode