Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.7. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 261
Abbildung 7.13: Periodische Funktion
mit einer Periodenlänge 2L
Abbildung 7.14: Beispiele für periodische
Funktionen, dargestellt durch die
ersten fünf Glieder einer Fourier-
Reihe: Sägezahn (oben), Rechteck (Mitte)
und pulsierende Gleichspannung
(unten). Die Skalierung der Abszisse
ist willkürlich, die Funktionen sind
zur besseren Darstellung gegeneinander
verschoben
§ 990 Betrachten wir eine periodische Funktion f(x), d.h. eine Funktion, die sich stückweise
zyklisch wiederholt, siehe Abb. 7.13. Die Länge dieses Intervalls sei 2L, so dass gilt
f(x + 2L) = f(x) = f(x − 2L) .
Diese Funktion lässt sich als eine Überlagerung von Sinus- und Kosinuswellen schreiben:
f(x) = a ∞
0
2 + ∑ ( nπx
) ∞∑ ( nπx
)
a n cos + b n sin . (7.33)
l
L
n=1
n=1
Die Reihe konvergiert gegen alle stetigen Punkte in f(x), an den Sprungstellen konvergiert
sie gegen den Mittelwert der Randpunkte rechts und links. Die Fourier Koeffizienten in (7.33)
sind
a n = 1 ∫ L ( nπx
)
f(x) cos dx und b n = 1 ∫ L ( nπx
)
f(x) sin dx . (7.34)
L
L
L
L
−L
−L
Für gerade Funktionen f(−x) = f(x) verschwinden die b n , für ungerade Funktionen f(−x) =
−f(−x) dagegen die a n .
§ 991 Fourier Reihen können auch als Annäherungen an analytisch nicht (bzw. nur für eine
Periode) darstellbare Funktionen verwendet werden. So kann z.B. eine Sägezahn Funktion
(oberes Teilbild in Abb. 7.14) analytisch dargestellt werden als f(x) = x für −π < x < π.
Für größere Intervalle dagegen ist
( sin x
f(x) = 2
1
+ sin(2x)
2
+ sin(3x)
3
)
+ . . .
eine angemessenere Darstellung, die der Periodizität der Sägezahn Funktion Rechnung trägt.
§ 992 Die Rechteckfunktion f(x) = a für 0 < x < π und y = −a für π < x < 2π (siehe
Abb. 7.14) ist darstellbar als
f(x) = 4a (
sin x + sin(3x) + sin(5x) )
+ . . . ,
π
3 5
der pulsierende Sinus f(x) = sin x für 0 ≤ x ≤ π als
f(x) = 2 π − 4 ( cos(2x)
+ cos(4x) + cos(6x) )
+ . . . .
π 1 · 3 3 · 5 5 · 7
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007