Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

32 KAPITEL 1. VEKTOREN
sind. Also sind zumindest die Mengen L(m, 0) echte Vektorräume im Sinne der Definition.
da diese Vektorräume durch einen einzigen Parameter, die reelle Zahl x, parametrisiert sind,
werden sie mit R 1 oder kurz R bezeichnet. Die zugehörigen Vektoren können dann als (x)
dargestellt werden.
§ 154 Für eine Ebene z = mx + ny + d, d.h. die Menge P (m, n, d) = {(x, y, d + mx + ny) :
x, y ∈ R}, lässt sich die Addition definieren als
(x 1 , y 1 , d + mx 1 + ny 1 ) + (x 2 , y 2 , d + mx 2 + ny 2 ) =
20pt = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , 2d + m(x 1 + x 2 ) + n(y 1 + y 2 ))
und die Multiplikation als
λ(x, y, d + mx + ny) = (λx, λy, λ(d + mx + ny)) .
Abgeschlossenheit lässt sich wieder für d = 0 direkt erkennen, d.h. für Ebenen, die durch
den Ursprung gehen. Dieser Raum wird durch zwei reelle Parameter x und y vollständig
parametrisiert und daher als R 2 bezeichnet. Die Punkte werden als Paar (x, y) dargestellt.
§ 155 Dieses Verfahren lässt sich, allerdings unter Verzicht auf die geometrische Anschauung,
verallgemeinern auf den Vektorraum R n , n ∈ N. Damit lässt sich, ohne die explizite
Darstellung der Axiome, eine verallgemeinerte Definition eines Vektorraums geben:
Definition 11 Ein reeller Vektorraum R n besteht aus einer Menge von n-Tupeln reeller Zahlen
(x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n ), für die Addition und Multiplikation in der folgenden Form definiert
sind:
λ(x y , . . . , x n ) = (λx 1 , . . . , λx n )
(x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) .
Der triviale Vektorraum mit nur einem Element ist R 0 = {⃗0}.
Unterräume
§ 156 Linien und Ebenen sind Beispiele für Vektorräume. In einer Ebene können unendlich
viele Linien liegen, d.h. in einem Vektorraum können andere Vektorräume liegen. Ein Unterraum
eines Vektorraum V lässt sich definieren als eine Teilmenge der in V enthaltenen
Vektoren, die ihrerseits wieder einen Vektorraum bildet. Letzteres muss nicht für jede Teilmenge
von V der Fall sein: ist z.B. der Nullvektor nicht Element dieser Teilmenge, so kann
die Teilmenge keinen Unterraum bilden, da das in Axiom 4 von Def. 10 geforderte neutrale
Element fehlt. Ebenso sind die Teilmengen, die bezüglich Multiplikation oder Addition nicht
abgeschlossen sind, keine Vektorräume und damit auch kein Unterraum.
§ 157 Aber wie sieht es mit dem Schnitt zweier Unterräume aus? Hier gilt:
Satz 1 Die Schnittmenge zweier Unterräume U 1 and U 2 eines Vektorraums V ist wieder ein
Unterraum von V .
Anschaulich ist das glaubwürdig: nehmen wir zwei Ebenen als Unterräume des R n , so bildet
die Schnittgerade dieser Ebenen wieder einen Vektorraum und, da im R n enthalten, einen
Unterraum. Auch der mathematische Beweis ist einfach. Die beiden Vektorräume U 1 und
U 2 seien Unterräume des Vektorraums V . Da beide selbst Vektorräume sind, müssen sie das
neutrale Element ⃗0 enthalten. Dann ist ⃗0 auch in U 1 ∩ U 2 . Auch die Abgeschlossenheit lässt
sich leicht einsehen: sind ⃗u und ⃗v zwei Vektoren im Schnitt U 1 ∩ U 2 , so sind sie sowohl in U 1
als auch in U 2 enthalten. Dann muss aber auch ihre Summe ⃗u + ⃗v und jedes ihrer Vielfache
λ⃗u und λ⃗v sowohl in U 1 als auch in U 2 enthalten sein, da beides Vektorräume sind. Und
damit sind ⃗u + ⃗v, λ⃗u und λ⃗v auch in U 1 ∩ U 2 enthalten. Also ist auch U 1 ∩ U 2 ein Unterraum
von V .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode