Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.1. GRUNDLAGEN WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 437
Möglichkeiten. Da alle Ziehungsmöglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit
für eine bestimmte Anordnung p=1/C Lotto =7.2 · 10 −8 .
§ 1629 Um den Profit zu erhöhen, haben die Lotto-Gesellschaften als neue Regel eingeführt,
dass eine gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird und damit erneut gezogen werden kann.
Dann ergeben sich
( )
54
C w (n; k) =
6
= 54! = 2.6 · 107
48! 6!
Kombinationen. Die Wahrscheinlichkeit, die richtige Kombination getippt zu haben, reduziert
sich auf p=1/C w =3.9 · 10 −8 .
Variationen
§ 1630 Aus einer Urne mit n verschiedenen Elementen werden nacheinander k Elemente
entnommen und in der Reihenfolge ihrer Ziehung angeordnet. Sie bilden eine Variation k-ter
Ordnung.
Definition 93 Variationen k-ter Ordnung ohne Zurücklegen entstehen, wenn jedes Element
höchstens einmal gezogen werden kann. Die Anzahl der Variationen k-ter Ordnung ohne
Wiederholung beträgt
V (n; k) =
n!
(n − k)! .
Wird das Element nach der Ziehung zurückgelegt, so gibt es
V w (n; k) = n k
Variationen k-ter Ordnung mit Wiederholung.
§ 1631 Zur weiteren Profitmaximierung müssen beim Lotto nicht nur die richtigen Zahlen
angekreuzt werden, sondern auch die Reihenfolge ihrer Ziehung. Gesucht sind also die Zahl
der Variationen von 6 aus 49 Elementen:
V (n; k) = 49!
43! = 1010 ,
die Wahrscheinlichkeit für eine dieser Variationen ist p = 10 −10 .
§ 1632 Auch im vorangegangenen Beispiel kann man als Erweiterung die Variationen mit
Zurücklegen betrachten, d.h. eine Zahl kann mehrfach gezogen werden. Dann erhalten wir
V w (n; k) = 49 6 = 1.38 · 10 10
Variationen, jede mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 7.22 · 10 −11 .
§ 1633 Kombinationen bilden eine ungeordnete, Variationen eine geordnete Stichprobe.
12.1.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung
§ 1634 Die Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst sich mit Zufallsexperimenten, z.B. Münzwurf
oder Würfeln. Sie steht in enger Beziehung zur Spieltheorie.
Grundbegriffe
Definition 94 Ein Zufallsexperiment erfüllt folgende Voraussetzungen:
1. Das Experiment ist unter gleichen Bedingungen beliebig wiederholbar.
2. Bei der Durchführung des Experiments sind mehrere, sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse
möglich.
3. Das Ergebnis einer konkreten Durchführung des Experiments lässt sich nicht mit Sicherheit
voraussagen sondern ist zufallsbedingt.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007