Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.5. DGL ZWEITER ORDNUNG AM BEISPIEL DES FEDERPENDELS 241
3. Ist x(t) = u(t) + i v(t) eine komplexwertige Lösung der DGL, so sind auch der Realteil
u(t) und der Imaginärteil v(t) reelle Lösungen.
Differentialgleichungen zweiter Ordnung benötigen zwei Anfangs- oder Randbedingungen,
um die Integrationskonstanten zu bestimmen.
Charakteristische Gleichung und Eigenwerte
§ 927 Die Ableitungen des Exponentialansatz
ẋ = λe λt = λx und ẍ = λ 2 e λt = λ 2 x
werden in die DGL eingesetzt
λ 2 x + aλx + bx = 0 .
Diese charakteristische Gleichung kann nur dann für beliebige x erfüllt sein, wenn das charakteristische
Polynom verschwindet:
λ 2 + aλ + b = 0 .
Letztere Gleichung ist eine Bestimmungsgleichung für die Eigenwerte λ 1,2 der DGL. Diese
ergeben sich zu
λ 1,2 = − a 2 ± √ (a
2
) 2
− b .
Die Merkmale der Lösungen hängen von der Art der Eigenwerte ab:
• der Radikant ist negativ: dann sind die Eigenwerte und damit die Lösung der DGL komplex.
Physikalisch sinnvoll sind nur reelle Lösungen, d.h. der Realteil der Lösung wird gebildet.
• der Radikant ist positiv: dann sind die Eigenwerte reell und damit ist es auch die Lösung.
• der Radikant ist Null: dann gibt es nur einen Eigenwert; dieser ist reell. Der zweite Teil
der Lösung wird durch einen Ansatz der Form x(t) = te λt bestimmt.
§ 928 Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung erhält man in den ersten beiden Fällen
(zwei Eigenwerte λ 1 ≠ λ 2 ) durch Überlagerung der beiden Lösungen x 1 ∼ e λ1t und x 2 ∼ e λ2t :
x(t) = A e λ1t + B e λ2t .
Die Konstanten A und B sind aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen. Im dritten Fall
ist die Lösung gegeben durch
x(t) = (A + Bt) e λt .
7.4.2 Lösung der inhomogenen DGL
§ 929 Eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL wird wieder mit Hilfe eines Ansatzes
gemacht, der der Inhomogenität ähnlich ist. Hier gelten die bereits bei der DGL erster
Ordnung in § 921 gegebenen Regeln.
§ 930 Wie bei der inhomogenen DGL erster Ordnung wird dieser Ansatz in die inhomogene
DGL eingesetzt um (a) seine Gültigkeit zu prüfen und (b) etwaige Koeffizienten zu
bestimmen.
7.5 DGL zweiter Ordnung am Beispiel des Federpendels
§ 931 Am Beispiel des Federpendels lassen sich verschiedene Formen einer DGL zweiter
Ordnung diskutieren. Es handelt sich um eine mechanische Schwingung, d.h. die Ausgangsgleichung
ist das zweite Newton’sche Axiom. Die sich ergebende Bewegung hängt von den
wirkenden Kräften ab:
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007