Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

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INHALTSVERZEICHNIS
3.7 MatLab: Darstellung von Funktionen II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.7.1 Funktionen als Flächen im 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Graphical User Interface (GUI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.7.2 Funktionen als Linien im 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4 Differentialrechnung 121
4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2 Differentiation von Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2.1 Differenzenquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2.2 Differential und Differentialquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Differentialquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Anmerkung Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.3 Eine einzige Ableitungsregel genügt: Potenzen . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.4 Wichtige Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Satz von Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3 Handwerkszeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3.1 Wichtige Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.2 Grundregeln des Differenzierens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.3 Funktionen in impliziter Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3.4 Ableitung einer in Parameterform dargestellten Funktion . . . . . . . 134
4.4 Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.4.1 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Anschaulich: Funktion zweier Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Verallgemeinerung: Funktionen von n unabhängigen Variablen . . . . 137
Rechenregeln und höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.4.2 Stationäre Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.4.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Skalarfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Spezielle Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Definition Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Rechenregeln für den Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Gradient in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Spezielle Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.4.4 Totales und partielles Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5 Differentiation vektorwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.5.1 Komponentenweises Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.5.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.5.3 Einfache physikalische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5.4 Koordinatensysteme: Transformation der Basisvektoren . . . . . . . . 149
Allgemeine Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.5.5 Jacobi Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.6 Differentialrechnung in MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.6.1 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.6.2 Numerische Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode