Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

2.4. POTENZREIHEN ENTWICKLUNG 63
Abbildung 2.7: Taylor Entwicklung
von f(x) = 1/(1 − x) (gestrichelt) aus
§ 261 in nullter (links), erster (Mitte)
und zweiter (rechts) Ordnung (jeweils
durchgezogen)
• eine konvergente Potenzreihe kann gliedweise integriert und differenziert werden. Die so
erhaltenen Reihe konvergiert im Konvergenzbereich gegen die Ableitung bzw. das Integral.
• zwei Potenzreihen können addiert oder subtrahiert werden, das Ergebnis konvergiert zumindest
im Überlappungsbereich der Konvergenzbereiche beider Funktionen gegen die
Summe bzw. Differenz,
Die Rechenregeln werden wir im folgenden Abschnitt ebenso wie bei der Herleitung der Euler
Formel verwenden.
2.4.2 Taylor Entwicklung
§ 258 Eine konvergierende Potenzreihe konvergiert gegen eine Funktion f(x) = S(x)X. Umgekehrt
lässt sich dann die Funktion f(x) auch als eine Potenzreihe darstellen. Das Taylor
Theorem stellt das Regelwerk für diese Entwicklung einer Funktion auf:
Definition 23 Stetige Funktionen f(x), für die in einem Bereich a < x < b alle Ableitungen
existieren und stetig und beschränkt sind, können als Taylor Reihe dargestellt werden:
∞∑ d n f(a) (b − a) n
f(b) =
dx n
. (2.5)
n!
n=0
§ 259 Die Taylor Entwicklung einer Funktion um einen Punkt, an dem diese nicht definiert
ist, ist nicht möglich. Als Beispiel sei die Funktion f(x) = 1/x an der Stelle x = 0 betrachtet.
Die Ableitungen von x −1 ergeben stets Funktionen der Form x −n , d.h. diese sind bei x = 0
ebenfalls nicht definiert.
§ 260 Um eine Vorstellung von den in der Taylor Entwicklung steckenden Möglichkeiten zu
erhalten, schreiben wir die Reihe (2.5) explizit auf:
f(b) = f(a) + b − a f ′ (b − a)2
(a) + f ′′ (b − a)3
(a) + f ′′′ (a) + . . . .
1!
2!
3!
In dieser Darstellung steckt bereits eine wichtige Anwendung: kennen wir den Funktionswert
an der Stelle a sowie die Ableitungen an dieser Stelle, so lässt sich daraus der Funktionswert an
der Stelle b konstruieren. Diese Idee steckt für kleine Wegstückchen bereits im Differential, die
Taylor Entwicklung hat den Vorteil, dass die Berücksichtigung der höheren Ableitungen eine
genauere Annäherung auch über größere Strecken erlaubt. Eine weitere Anwendung sind numerische
Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen – wir werden bei der Abschätzung
der Genauigkeit der Verfahren und bei der Diksretisierung der Differentialquotienten in Abschn.
7.9.7 darauf zurück kommen.
§ 261 Als Beispiel für die Taylor Entwicklung betrachten wir die Funktion
f(x) = 1
1 − x .
Der Funktionswert an der Stelle x = 0 ist bekannt, f(0) = 1; der Verlauf der Funktion in der
Nähe dieser Stelle soll mit Hilfe von (2.5) angenähert werden. Wegen f(0) = 1 ergibt sich für
kleine x eine erste Abschätzung
f(x) = 1
1 − x ≈ 1 .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007