Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.6. DIFFERENTIALRECHNUNG IN MATLAB 155
Das Spatprodukt lässt sich gemäß (1.9) als Determinante schreiben:
∂x ∂y ∂z ∣
∂⃗r ∂⃗r
· × ∂⃗r
∂u 1 ∂u 1 ∂u 1
∣∣∣∣∣
=
∂x ∂y ∂z
∂(x, y, z)
∂u 1 ∂u 2 ∂u 3 ∂u 2 ∂u 2 ∂u 3
=
∣ ∂x ∂y
∂(u
∂z
1 , u 2 , u 3 ) . (4.22)
∂u 3 ∂u 3 ∂u 3
Diese Determinante wird als Jacobi Determinante bezeichnet. Ihre Koeffizienten werden uns
beim Übergang von kartesischen auf krummlinige Koordinaten noch häufiger begegnen.
Verständnisfrage 8 Beschreibt das Spatprodukt allgemein das Volumenelement oder nur
für den Spezialfall, dass die Einheitsvektoren wie in den obigen Beispielen orthogonal sind?
§ 613 Als Beispiel betrachten wir die Transformationsgleichung für Zylinderkoordinaten
x = ϱ cos ϕ , y = ϱ sin ϕ und z = z .
Die Jacobi-Determinante ist dann
∣ ∣∣∣∣∣∣ ∂x ∂y ∂z
∂ϱ ∂ϱ ∂ϱ
∂(x, y, z)
∂(ϱ, ϕ, z) = ∂x ∂y ∂z
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
= ϱ(cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = ϱ .
∣
∂x
∂z
∂y
∂z
∂z
∂z
Damit ergibt sich das Volumenelement (vgl. (4.18))
dV =
∂(x, y, z)
∣∂(ϱ, ϕ, z) ∣ dϱ dϕ dz = ϱ dϱ dϕ dz .
Zwischenrechnung 21 Verifizieren Sie das Volumenelement (4.19) in Kugelkoordinaten
mit Hilfe der Jacobi Determinante.
4.6 Differentialrechnung in MatLab
§ 614 MatLab ist kein symbolisches oder algebraisches sondern ein numerisches System.
Daher kann MatLab weder differenzieren noch integrieren in dem Sinne, dass es einen geschlossenen
Ausdruck für die Ableitung oder das Integral liefert. MatLab bedient sich jedoch
verschiedener numerischer Verfahren mit deren Hilfe die Steigung einer Funktion in einem
bestimmten Intervall als Wertetabelle bzw. in graphischer Form gegeben werden kann ebenso
wie ein bestimmtes Integral. 4
4.6.1 Nullstellen
§ 615 Analytisch werden Nullstellen durch Nullsetzen der Funktion und auflösen nach x
bestimmt. Da MatLab die dazu erforderlichen Operationen nicht durchführen kann, werden
in MatLab die Nullstellen numerisch gesucht: in einer Wertetabelle der Funktion wird in
der Umgebung eines vorgegebenen Wertes nach einem Vorzeichenwechsel gesucht und dieser
zur genaueren Bestimmung der Nullstelle weiter eingeschachtelt.
§ 616 Diese Nulltstellensucher erfolgt mit Hilfe der Funktion fzero. Die Argumente sind die fzero
Funktion als String (oder als String in eine Variable geschrieben) sowie ein Wert in dessen
Umgebung oder ein Intervall in dem die Nullstelle gesucht werden soll. Der Befehl
>> xn=fzero(’x*x-1’,0.9) ←↪
xn =
1
sucht die Nullstelle der Funktion f(x) = x 2 − 1 in der Nähe von 0.9 und findet ganz korrekt
die +1. Mit dem Befehl
4 Es ist nicht ganz korrekt, dass MatLab überhaupt keine algebraischen Rechnungen vornehmen kann.
Mit der Symbolic Math Toolbox als Erweiterung kann MatLab korrekt symbolisch rechnen. In der normalen
MatLab-Version ist dies nicht allgemein möglich sondern auf Polynome beschränkt, vgl. Anhang B.5.4.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007