Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

118 KAPITEL 3. FUNKTIONEN
Kontrollfragen
Kontrollfrage 12 Was ist eine Funktion? Wie lassen sich Funktionen einer Variablen darstellen?
Wie lässt sich der Funktionsbegriff auf mehrere unabhängige Variable erweitern?
Kontrollfrage 13 Erläutern Sie die Begriffe Beschränktheit, Monotonie, Stetigkeit und
Grenzwert für Funktionen einer Variablen. Wie lassen sich diese Begriffe aus Funktionen
mehrerer Variablen erweitern? Welche Bedeutung haben sie bei vektorwertigen Funktionen?
Kontrollfrage 14 Beschreiben und bewerten Sie verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen.
Wie lassen sich diese z.B. in MatLab umsetzen?
Fragen
Frage 21 Wie unterscheidet sich eine Funktion von einer Folge oder Reihe? Welche Konsequenzen
hat dieser Unterschied z.B. für den Begriff des Grenzwerts?
Frage 22 Was versteht man unter einer geraden bzw. ungeraden Funktion? Erläutern Sie
die Begriffe anschaulich. Wie kann man diese Begriffe auch formal begründen?
Frage 23 Was versteht man unter einer Polstelle? Geben Sie Beispiele.
Frage 24 Kann eins Funktion f(x) an der Stelle x = a einen Grenzwert haben ohne an
dieser Stelle definiert zu sein?
Frage 25 Eine gebrochen rationale Funktion ist an den Stellen nicht definiert, an denen der
Nenner Null wird. Geht die Funktion an dieser Stelle zwingend gegen Unendlich? Lassen sich
Abschätzungen machen?
Frage 26 Erläutern Sie die Parameterdarstellung einer Funktion. Geben Sie Beispiele.
Frage 27 Beschreiben Sie die Definition der Winkelfunktionen mit Hilfe des Einheitskreises
und skizzieren Sie aus dieser Definition heraus deren Verlauf.
Frage 28 Skizzieren Sie den Verlauf von Exponentialfunktion und natürlichem Logarithmus.
Geben Sie die wichtigsten Eigenschaften dieser Funktionen an.
Frage 29 Erläutern Sie die hyperbolischen Funktionen anschaulich und formal.
Frage 30 ¬S Erläutern Sie Exponentialfunktion und natürlichen Logarithmus aus mathematischer
Sicht.
Frage 31 ¬S Wie lassen sich Winkel und Winkelfunktionen aus mathematischer Sicht definieren
ohne die geometrische Konstruktion am Einheitskreis zu verwenden?
Aufgaben
Aufgabe 43 Eine Archimedische Spirale (Rasensprengerspirale) entsteht, wenn ein Körper
sich mit konstanter Geschwindigkeit v entlang eines Strahls von dessen Ursprung weg bewegt,
wobei dieser Strahl gleichzeitig um seinen Ursprung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
ω rotiert. Stellen Sie die Funktionsgleichung in Parameterform auf (Hinweis: nehmen Sie die
Zeit t als Parameter). Geben Sie, wenn möglich, die Funktionsgleichung in expliziter Form.
Aufgabe 44 Bestimmen Sie rechts- und linksseitigen Grenzwert der Funktion
f(x) = 4 + x
x + 1
an der Stelle x = −1.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode