Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

9.1. MOTIVATION 353
9.1 Motivation
§ 1312 Funktionen geben einen Zusammenhang zwischen einer unabhängigen und einer
abhängigen Variablen. Reale Objekte kann man durch Funktionen annähern; so lässt sich z.B.
das Relief eines Berges durch eine Funktion h(x, y) beschreiben, die die Höhe in Abhängigkeit
vom Ort (x, y) angibt.
§ 1313 Das Gravitationsfeld ebenso wie elektrisches und magnetisches Feld sind lassen sich
entsprechend durch Funktionen beschreiben. Die Testobjekte, die wir in ein solches Feld
setzen, entziehen sich dagegen einer entsprechenden Beschreibung: dieses sind idealisierte,
punktförmige Körper ohne Ausdehnung, die Punktmasse bzw. der Massenpunkt m oder die
Punktladung Q. Diese Größen haben keine Ausdehnung und sind nur für einen infinitesimal
kleinen Punkt definiert. Andererseits sind es jedoch gerade diese Größen, deren Schicksal wir
mathematisch mit dem des Feldes verknüpfen wollen.
§ 1314 Die mathematische Beschreibung einer Punktmasse oder Punktladung erfordert daher
eine Funktion, die aus einer allgemeinen Massen- oder Ladungsdichteverteilung ϱ(⃗r) genau
einen Punkt ⃗r 0 auswählt, an der die Verteilung den Wert m bzw. q annimmt, und die an allen
anderen Stellen verschwinden lässt. Diese Auswahl wird durch die Dirac’sche Delta Funktion
δ(⃗r − ⃗r 0 ) vermittelt. Ihre Beschreibung bildet das Kernstück dieses Kapitels.
§ 1315 Wie die anderen in diesem Kapitel diskutierten verallgemeinerten Funktionen unterscheidet
sich die δ-Funktion von den in Kap. 3 diskutierten Funktionen dadurch, dass sie
nicht explizit sondern über ein Integral definiert ist.
§ 1316 Die folgende Übersicht bringt etwas Odnung in den Zoo der Möglichkeiten, eine
Funktion darzustellen:
1. explizit, z.B. y = x 2 , oder implizit, z.B. x 2 + y 2 = r 2 . Diese Darstellung von Funktionen
sowie verwandte Formen (Parameterdarstellung) haben wir ausführlich in Abschn. 3.2.2
betrachtet; sie ist nicht Thema dieses Kapitel.
2. für verallgemeinte Funktionen gibt es zwei wesentliche Darstellungsformen:
(a) über ein Integral oder
(b) über eine Differentialgleichung.
§ 1317 Bei den über ein Integral definierten Funktionen stellt die δ-Funktion insofern eine
Besonderheit dar, als dass sie aus einer kontinuierlichen Funktion einen Punkt auszuwählen.
Andere über ein Integral definierte verallgemeinerte Funktionen dagegen sind Funktionen in
expliziter Darstellung insofern ähnlicher, als dass sie sich zumindest als Wertetabelle darstellen
lassen. Die konventionelle Weise zur Definition einer Funktion über ein Integral haben
wir bereits in § 662 eher beiläufig erwähnt. Konventionell verwendet wir ein Integral zur
Bestimmung einer Stammfunktion, z.B.
∫
f(x) = x 2 dx = 1 3 x3
oder als bestimmtes Integral
∫ 2 [ ] 2 1
f(x) = x 2 dx =
3 x3 = 7
1
3 .
1
§ 1318 Setzen wir im bestimmten Integral als obere Integrationskonstante eine Variable t,
so ergibt der Ausdruck
f(t) =
∫ t
1
[ ] t 1
x 2 dx =
3 x3 1
= t3 − 1
3
.
Damit haben wir ein Integral verwendet, um eine Funktion f(t) zu definieren. Anschaulich
definiert diese Funktion die Fläche unter dem Funktionsgraphen von x 2 im Bereich von Eins
bis t.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007