Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

6.5. SCHNEEFLOCKE TRIFFT APFELMÄNNCHEN AN KÜSTENLINIE 219
Abbildung 6.8: Sierpinski Dreieck,
Initiator oben links, Generator
zweites Bild von links; in
der unteren Reihe Verzicht auf
die inneren Details
selbstähnlichen Struktur ist der Zusammenhang zwischen den beiden Parametern durch ein
Potenzgesetz
N = s D
gegeben mit D als der Hausdorff Dimension. Für die Koch’sche Schneeflocke ergibt sich aus
diesem Skalierungsgesetz eine fraktale Dimension D = 1.262. 12
§ 859 Ein anderes bekanntes Fraktal ist das Sierpinski Dreieck, siehe Abb. 6.8. Hier werden
in jedem Schritt drei identische Objekte erzeugt, d.h. N = 3. Diese sind mit dem Faktor
s = 2 skaliert, so dass sich eine Hausdorff Dimension D = 1.585 ergibt.
§ 860 Wie die Schneeflocke bereits nahe legt, bieten Fraktale einfache Verfahren zur Erzeugung
selbstähnlicher Strukturen wie Schneeflocken, Farne, Flussdeltas, Küstenlinien, Gebirgszüge
usw. 13 Benoit Mandelbrot hat sich in seinem Buch The fractal geometry of nature
[37] ausführlich mit diesem Thema beschäftigt. Schöne Beispiele finden Sie u.a. in Peitgen
und Richter [47]; eine ausführliche Darstellung über Fraktale und ihren Bezug zum Chaos
geben die beiden Bände von Peitgen et al. [48, 49].
6.5.2 Und was hat das mit komplexen Zahlen zu tun?
§ 861 Bei der Beschreibung der Koch’schen Schneeflocke sind wir in (6.17) auf eine Folge
gestoßen, die nicht konvergiert. Mitchell Feigenbaum hat sich intensiv mit diesem Problem
befasst. Bei der Untersuchung der Folge
x k+1 = αx k (1 − x k ) mit x 0 = 0.5
12 Bei den meisten Objekten der klassischen Geometrie stimmen euklidische und Hausdorff Dimension
überein. So gilt für eine Strecke bei N = 4 auch s = 4 und damit N = s D = s 1 , also D = 1. Bei einem
Quadrat ergibt sich bei N = 16 ein Skalierungsfaktor von s = 4 und damit eine Hausdorff Dimension
D = 2. Beim Würfel ergibt sich bei N = 64 ein Skalierungsfaktor s = 4 und damit D = 3:
13 Den Initiator der Schneeflocke hat bereits Koch selbst mit einem etwas anderen Generator behandelt,
um daraus einen Bienenkorb zu erzeugen:
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007