Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

402 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
Aufgabe 197 Gegeben sind die Felder (⃗r) = 4xy 2 + 2x sin z + 5, ⃗ B(⃗r) = 4x⃗e x + 5y⃗e y + 6z⃗e z ,
⃗C(⃗r) = (y 2 +x 2 )⃗e x +(x 2 +z 2 )⃗e y +xyz⃗e z , D(⃗r) = y 2 x 2 +x 3 z 3 +y 4 z 4 und ⃗ E(⃗r) = ⃗r. Bestimmen
Sie Gradient, Divergenz und Rotation für diese Felder.
Aufgabe 198 Bestimmen Sie die Parameter a und b derart, dass die Rotation des Vektorfeldes
⃗ A = (2xz 2 + y 3 z, axy 2 z, 2x 2 z + bxy 3 ) überall verschwindet.
Aufgabe 199 Gegeben ist die Raumkurve ⃗r(t) = 2 cos(5t)⃗e x +2 sin(5t)⃗e y +10t⃗e z . Bestimmen
Sie den Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor.
Aufgabe 200 Ein Teilchen bewege sich auf der ebenen Kurve ⃗r(t) = e −t cos t⃗e x +e −t sin t⃗e y .
Berechnen Sie die Tangential- und Normalgeschwindigkeit und -beschleunigung.
Aufgabe 201 Wie lautet der Geschwindigkeitsvektor ⃗v = ˙⃗r(t) eines Massenpunktes, der sich
auf der Kugeloberfläche längs der folgenden Bahnen bewegt: (a) Breitenkreis ϑ = const = ϑ 0 ,
ϕ = t, (b) Längenkreis ϕ = const = ϕ 0 , ϑ = t, (c) ϑ = t, ϕ = t 2 , jeweils mit t als der Zeit.
Aufgabe 202 Berechnen Sie das Linienintegral ∫ (xy 2 dx−x 2 yzdy +xz 2 dz) längs des Weges
⃗r(t) = t⃗e x + t 2 ⃗e y + t 3 ⃗e z mit 1 ≤ t ≤ 2.
Aufgabe 203 Berechnen Sie das Kurvenintegral über einen Kreis um (0,0,0) mit Radius R
für das Feld ⃗ F (⃗r) = ⃗ F 0 = const.
Aufgabe 204 Gegeben ist das Vektorfeld ⃗ F = (x 2 y, xy 2 ). Bestimmen Sie das Linienintegral
(a) entlang eines Kreises mit Radius a um den Ursprung und (b) entlang eines Rechtecks
vom Ursprung aus mit der Seitenlänge 2b parallel zur x-Achse und b parallel zur y-Achse.
Aufgabe 205 Gegeben ist ein Vektorfeld ⃗ F = c 1 zϕ⃗e ϱ + c 2 ϱz⃗e ϕ + c 3 ϱϕ⃗e z mit c 1 , c 2 und
c 3 als Konstanten. Gesucht ist das Kurvenintegral entlang einer Helix mit Radius a um die
z-Achse, die in der xy-Ebene startet (d.h. z = 0) und einen Abstand b zwischen benachbarten
Windungen hat.
Aufgabe 206 Das Feld ⃗ A(⃗r) = (z, x, −3y 2 z) ist über einen koaxialen, auf der xy-Ebene
stehenden Zylinder mit Radius 4 und Höhe 5 zu integrieren.
Aufgabe 207 Bestimmen Sie das Flächenelement in Kugelkoordinaten für die Oberfläche
einer Kugel. Parametrisieren Sie mit u = ϕ und v = ϑ.
Aufgabe 208 Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes ⃗ F = 2x⃗e x − x⃗e y + z⃗e z durch die
Oberfläche A der Kugel x 2 + y 2 + z 2 = 25.
Aufgabe 209 Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes ⃗ F = a/ϱ ⃗e ϱ durch die Oberfläche
eines koaxialen Zylinders mit Radius R und Höhe H.
Aufgabe 210 Wie gross ist der Fluss des Vektorfeldes ⃗ F = r n ⃗e r durch eine Kugelschale
vom Radius R?
Aufgabe 211 Bestimmen Sie den Fluss des Vektorfeldes ⃗ F = (2x, −x, z) durch die Oberfläche
einer Kugel mit Radius R.
Aufgabe 212 Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes ⃗ F (x, y, z) = xy⃗e x + y 2 ⃗e y + xz⃗e z
durch die geschlossene Oberfläche A eines Würfels mit Kantenlänge 1 unter Verwendung des
Gauß’schen Integralsatzes.
Aufgabe 213 Verifizieren Sie den Gauß’schen Integralsatz für das Vektorfeld ⃗ F = (x 3 , y 3 , z 3 )
und eine Kugel mit Radius R.
Aufgabe 214 Gegeben ist das Feld ⃗ F = (x, y, z). Überprüfen Sie die Gültigkeit des Gauß’schen
Satzes für einen koaxialen Zylinder mit r = 2 und h = 4.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode