Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.2. DIFFERENTIATION: DIVERGENZ UND ROTATION 379
Krummlinige Koordinaten
§ 1420 Die Definition 86 der Rotation haben wir wieder in kartesischen Koordinaten vorgenommen.
Entscheidend ist dabei, dass der Nabla Operator vektoriell mit dem Feld ‘multipliziert’
wird. Entsprechend können wir die Rotation in krummlinigen Koordinaten herleiten.
In Kugelkoordinaten ist die Rotation
( )
∂(sin ϑ Aϕ )
rotA ⃗ = ∇ × A ⃗ = 1
r sin ϑ
+ 1 ( 1
r sin ϑ
∂ϑ
∂A r
∂ϕ − ∂(rA ϕ)
∂r
und in Zylinderkoordinaten
(
rotA ⃗ = ∇ × A ⃗ 1 ∂A z
=
ϱ ∂ϕ − ∂A ϕ
∂z
+ 1 ( ∂(ϱAϕ )
− ∂A ϱ
ϱ ∂ϱ ∂ϕ
− ∂A ϑ
⃗e r
∂ϕ
( ∂(rAϑ )
)
⃗e ϑ + 1 r
∂r
) ( ∂Aϱ
⃗e ϱ +
∂z − ∂A )
z
⃗e ϕ
∂ϱ
− ∂A )
r
⃗e ϕ (10.11)
∂ϑ
)
⃗e z . (10.12)
Zwischenrechnung 59 Leiten Sie einen der beiden Ausdrücke für die Rotation explizit her.
Typische Felder
§ 1421 In einem konstanten Vektorfeld ⃗ A = (a x , a y , a z ) = const verschwindet die Rotation:
rot ⃗ A = ∇ × ⃗ A = 0, d.h. ein konstantes Vektorfeld ist wirbelfrei. Damit ist ein konstantes
Kraftfeld automatisch auch konservativ und lässt sich als Gradient eines skalaren Potentials
darstellen. Zumindest für das elektrische Feld im Innern eines Plattenkondensators klingt
das vernünftig: es sollte konservativ sein, da die zur Verschiebung einer Probeladung auf
zu bringende Kraft nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bewegung, nicht aber vom dazwischen
zurück gelegten Weg abhängt. Und es sollte sich auf ein elektrostatisches Potential
zurückführen lassen.
§ 1422 Im radialen Feld A ⃗ = ⃗r = (x, y, z) verschwindet die Rotation ebenfalls:
⎛
rot A ⃗ = ∇ × A ⃗ = ⎝ ∂/∂x
⎞ ⎛
∂/∂y ⎠ × ⎝ x ⎞ ⎛
y ⎠ = ⎝ 0 ⎞
0 ⎠ .
∂/∂z z 0
Beispiele sind das elektrostatische Feld einer Punktladung oder das Gravitationsfeld. In beiden
erwarten wir anschaulich keine Wirbel. Außerdem sind beide Felder konservativ und als
Gradient eines skalaren Potentials darstellbar – was nur dann der Fall ist, wenn diese Felder
auch wirbelfrei sind.
§ 1423 Die Rotation eines Wirbelfeldes verschwindet (glücklicherweise) nicht, vgl. § 1419.
In der Schreibweise mit Hilfe des Nabla Operators gilt
∇ × (∇ × ⃗ A) = ∇(∇ · ⃗A) − (∇ ∇) ⃗ A .
Je nach Art des Feldes, auf das diese Nablas angewandt werden, sprechen sie sich, wie bereits
in § 1409 betrachtet, unterschiedlich aus. Die verbale Darstellung der obigen Gleichung ist
daher
rot (rot ⃗ A) = grad (div ⃗ A) − (div grad) ⃗ A .
Rechenregeln
§ 1424 Auch bei der Rotation ergeben sich die Rechenregeln aus den allgemeinen Rechenregeln
für die partielle Differentiation, vgl. Abschn 4.4.1. Insbesondere ist die Rotation wieder
ein linearer Operator. Daher gilt im Detail:
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007