Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

420 KAPITEL 11. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
§ 1555 Die Differentialgleichung für den räumlichen Teil ist komplizierter als im Fall der
rechteckigen Membran, da wir hier neben der zweiten Ableitung nach r noch einen Term
haben, der ein Produkt aus der ersten Ableitung der gesuchten Funktion R(r) nach r und
der unabhängigen Variablen r selbst enthält. Diese Differentialgleichung
R ′′ (r) + 1 r R′ (r) + β 2 R = 0
wird verwendet, um eine spezielle Art von Funktionen, die Bessel Funktionen zu definieren,
vgl. Abschn. 7.7.3. Ihre Lösung sind Bessel Funktion erster Gattung J 0 (βr) und zweiter
Gattung Y 0 (βr); die allgemeine Lösung wird damit
R(r) = a 1 J 0 (βr) + a 2 Y 0 (βr) . (11.21)
§ 1556 Während die Bessel Funktion erster Gattung für alle r endlich ist, strebt die Bessel
Funktion zweiter Gattung für r → 0 gegen Unendlich. Damit die Auslenkung der Membran
im Ursprung endlich bleibt, muss der Koeffizient a 2 in (11.21) Null sein, d.h. die räumliche
Abhängigkeit der Lösung reduziert sich auf
R(r) = a 1 J 0 (βr) .
Eine Gesamtlösung ergibt sich durch Multiplikation mit (11.20) zu
A(r, t) = (γ 3 cos(βct) + γ 4 sin(βct)) J 0 (βr) . (11.22)
In dieser Lösung ist die Separationskonstante β aus den Randbedingungen zu bestimmen,
die Integrationskonstanten γ 3 und γ 4 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen.
§ 1557 Die Randbedingung A(a, ϕ, t) = 0 fordert J 0 (βr) = 0. Da die Bessel Funktion oszilliert,
hat sie unendlich viele Nullstellen α i . 1 Sie verschwindet also für die Eigenmoden
β n = α i
a .
Damit wird (11.22) zu
( ( ) ( ))
αi ct
αi ct
A n (r, t) = γ 3n cos + γ 4n sin
a
a
( αi r
)
J 0 .
a
Die allgemeine Lösung ist die Überlagerung aller dieser Lösungen
∞∑
( ( ) ( ))
αi ct
αi ct
( αi r
)
A(r, t) = γ 3n cos + γ 4n sin J 0 .
a
a a
k=0
11.3.5 Schwingende Kugeloberflächen
§ 1558 Auch Schwingungen auf einer Kugeloberfläche haben interessante physikalische Anwendungen,
z.B. Oszillationen der Sonne, und führen auf eine Differentialgleichung, die zur
Definition einer speziellen Sorte von Polynomen, den Legendre Polynomen, verwendet werden
kann.
§ 1559 Betrachten wir dazu eine sphärische Oberfläche mit Radius a. Geometrisch handelt
es sich um ein dreidimensionales, sphärisch-symmetrisches Problem, d.h. wir müssen
die Wellengleichung in drei Dimensionen betrachten und den Laplace Operator (10.7) in
Kugelkoordinaten verwenden:
(
1 ∂
r 2 ∂r
r 2 ∂A
∂r
)
+ 1
r 2 sin ϑ
(
∂
sin ϑ ∂A )
∂ϑ ∂ϑ
1
+
r 2 sin 2 ϑ
∂ 2 A
∂ϕ 2 = 1 ∂ 2 A
c 2 ∂t 2 .
Beschränken wir uns auf Wellen, die sich auf der Kugeloberfläche ausbreiten, so hängen diese
nur von ϑ und ϕ ab, nicht aber von r: A = A(ϑ, ϕ, t). Damit reduziert sich die PDGL unter
Berücksichtigung von r = a auf
1
a 2 [ 1
sin ϑ
∂
∂ϑ
(
sin ϑ ∂A
∂ϑ
)
+ 1 ∂ 2 ]
A
sin 2 ϑ ∂ϕ 2 = 1 ∂ 2 A
c 2 ∂t 2 . (11.23)
1 Die ersten Werte dieser Nullstellen sind α 1 = 2.4048, α 2 = 5.5021, α 3 = 8.6537 usw.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode