Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

9.4. ERROR FUNKTION 363
Abbildung 9.3: Die
Error Funktion erf(x)
ist definiert als die
Fläche unter der Funktion
f(u) = e −u2 im
Bereich von 0 bis x
bzw. in logarithmierter Form
ln x! ≈ x ln x − x + 1 2
ln(2πx) . (9.14)
§ 1359 Mit Hilfe der Γ Funktion lässt sich auch eine Beta Funktion definieren als
B(x, y) =
∫ 1
0
z x−1 (1 − z) y−1 dz =
Γ(x) Γ(y)
Γ(x + y)
Die Beta Funktion B(x, y) ist symmetrisch in x und y.
9.4 Error Funktion
mit x > 0 , y > 0 .
§ 1360 Eine andere über ein Integral definiert Funktion ist die Error Funktion, manchmal
auch als Kramp’sche Funktion oder Gauß Funktion bezeichnet. Sie wird uns im Zusammenhang
mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen in Abschn. 12.2.5 (bzw. allgemein in der kinetischen
Gastheorie) und bei der Lösung der Diffusionsgleichung in Abschn. 11.6.4 nochmals
begegnen.
§ 1361 Während bei der Gamma Funktion die unabhängige Variable im Integranden versteckt
ist, ist sie bei der Error Funktion in der oberen Integrationsgrenze offensichtlicher.
Daher lässt sich die Error Funktion anschaulich als die Fläche unter dem Funktionsgraphen
f(u) = e −u2 interpretieren, siehe Abb. 9.3). Ihre formale Definition lautet
erf(x) = 2 √ π
∫x
0
e −u2 du . (9.15)
Der Vorfaktor 2/ √ π dient der Normierung, so dass erf(∞) = 1. Die Error-Funktion ist eine
ungerade Funktion erf(x) = −erf(−x), vgl. Abb. 9.4.
§ 1362 Die Error Funktion ist eine reine Rechenhilfe; sie ist definiert worden, um sich die
wiederholte Berechnung eines häufig auftretenden Integrals zu ersparen. Ein Integral der
Form ∫ e −u2 du tritt immer dann auf, wenn ein bestimmter Auschnitt (eben ein bestimmtes
Integral) einer Funktion der Form e −u2 betrachtet werden soll.
§ 1363 Die Bewertung Ihrer Klausur am Ende des Semester soll so gestaltet sein, dass sich
die Noten durch eine Gauß Verteilung (siehe Abschn. 12.2.5) beschreiben lassen. Diese hat
die Form
P (x) = 1 √
2πσ
exp
(− (x − x 0) 2
2σ 2 )
mit x 0 als dem Mittelwert und σ als einem Maß für die Breite der Verteilung. Verschieben
wir die Verteilung linear derart, dass der Mittelwert auf die Null fällt, so ergibt sich mit
P 0 (x) = √ 1
)
exp
(− x2
2πσ 2σ 2
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007