Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

426 KAPITEL 11. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
§ 1584 Die Lösung für eine beliebige Ladungsverteilung ϱ(⃗r ′ ) ergibt sich durch Multiplikation
von (11.32) mit ϱ(⃗r ′ ) und Integration über ⃗r ′
∫
U(⃗r) = G(⃗r − ⃗r ′ ) ϱ(⃗r ′ ) d 3 ⃗r ′ . (11.33)
Diese Gleichung wird als Poisson Integral bezeichnet.
§ 1585 In vielen Anwendungen ist die Green’sche Funktion die Lösung einer Differentialgleichung
mit einer δ-förmigen Anregung. Daher muss eine Ableitung oder eine Kombination
mehrerer Ableitungen der Green’schen Funktion gleich der δ-Funktion am Ort bzw. zum
Zeitpunkt der Anregung sein. Daher ist die Green’sche Funktion oder eine ihrer Ableitungen
in der Regel keine stetige Funktion sondern hat eine Singularität.
11.5.3 Potential einer kugelsymmetrischen Ladungsdichte
§ 1586 Bei allen Anwendungen des Poisson-Integral (11.33) ist der Nenner |⃗r − ⃗r ′ |, d.h. der
Abstand zwischen dem Punkt ⃗r, in dem das Potential zu betrachten ist, und den Punkten
⃗r ′ , die die Ladungsdichte beherbergen. Die beiden Ortsvektoren und der Abstand bilden
ein Dreieck, von dem zwei Seiten, nämlich die Beträge der beiden Vektoren, sowie über das
Skalarprodukt der zwischen ihnen eingeschlossene Winkel bekannt sind. Dann lässt sich mit
Hilfe des Kosinussatzes (Satz des Pythagoras im schiefwinkligen Dreieck) c 2 = a 2 + b 2 −
2ab cos γ die dritte Seite, also der Abstand der beiden Punkte berechnen:
(r − r ′ ) 2 = r 2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos ϑ
mit ϑ als dem von ⃗r und ⃗r ′ eingeschlossenen Winkel. Einsetzen dieses Ausdrucks in (11.33)
liefert mit dem Volumenelement (4.19)
U(⃗r) = 1
4πε 0
∫∞
∫ π ∫2π
0
0
0
ϱ(⃗r ′ )
√
r2 + r ′2 − 2rr ′ cos ϑ r2 sin ϑ dϑ dϕ dr .
§ 1587 Die Integration über ϑ können wir mit a = r 2 + r ′2 und b = 2rr ′ vereinfachen
I =
∫ π
0
sin ϑ dϑ
√
a − b cos ϑ
und erhalten mit der Substitution z = cos ϑ und dz = sin ϑ dϑ
∫
I = −
−1
+1
dz
√
a − bz
=
Nach Rücksubstitution von a und b ergibt sich
∫ π
0
[ ] 2 √ −1
a − bz = 2 ( √a √ )
+ b − a − b .
b
+1
b
sin ϑ dϑ
√
r 2 + r ′2 − 2rr ′ cos ϑ = 1
rr ′ (r + r′ − |r − r ′ |) =
mit r m = max(r, r ′ ). Damit ergibt sich
∫
∫2π
dΩ
|r − r ′ | =
0
∫ π
0
sin ϑ dϑ dϕ
√
r2 + (r ′ ) 2 − 2rr ′ cos ϑ = 4π .
r m
Einsetzen dieses Ausdrucks in (11.33) liefert
U(r) = 1
4πε 0
∫
ϱ(r ′ )
|⃗r − ⃗r ′ | d3 r ′ = 1 ε 0
∫
0
∞
ϱ(r ′ ) (r′ ) 2
r m
dr ′ .
{ }
2/r r ≥ r
′
2/r ′ r < r ′ = 2
r m
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode