Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.2. ELEMENTARES DIFFERENZIEREN 525
Beispiele Produktregel
§ 1874 Die Produktregel kann man sich einfach und systematisch klar machen. Wichtig ist,
bei allen Funktionen darauf zu achten, ob auch die inneren Ableitungen berücksichtigt werden
müssen. Dann ist eine Kombination aus Produkt- und Kettenregel erforderlich. Derartige
Beispiele werden wir weiter unten betrachten.
Beispiel 12 Die Funktion
f(x) = x 3 · sin(x)
lässt sich zerlegen in zwei Funktionen g(x) = x 3 und h(x) = sin(x):
f(x) = x 3 · sin(x) = g(x) · h(x) mit g(x) = x 3 und h(x) = sin(x) .
Für beide Funktionen können wir die Ableitungen bilden:
und
g(x) = x 3 ⇒ g ′ (x) = d
dx g(x) = d
dx x3 = 3x 2
h(x) = sin(x) ⇒ h ′ (x) = d
dx h(x) = d sin(x) = cos(x) .
dx
Einsetzen in die Produktregel liefert dann für die Ableitung von f(x):
f ′ (x) = g ′ (x)h(x) + g(x)h ′ (x) = 3x 2 sin(x) + x 3 cos(x) .
Da der Ausdruck eine Summe aus zwei Produkten ist, können wir daran die Kombination
aus Produkt- und Summenregel üben, indem wir die zweite Ableitung bilden.
Dazu gehen wir sehr systematisch vor und zerlegen f ′ (x) in die daran beteiligten vier
Funktionen:
f ′ (x) = f 1 (x)f 2 (x) + f 3 (x)f 4 (x) .
(C.4)
Die Funktionen und ihre Ableitungen sind
f 1 (x) = 3x 2 ⇒ f ′ 1(x) = 6x
f 2 (x) = sin(x) ⇒ f ′ 2(x) = cos(x)
f 3 (x) = x 3 ⇒ f ′ 3(x) = 3x 2
f 4 (x) = cos(x) ⇒ f ′ 4(x) = − sin(x) .
Wenden wir auf die einzelnen Produkte in (C.4) die Produktregel an, so erhalten wir
für die Ableitung von f ′ (x)
f ′′ (x) = d
dx f ′ (x) = f ′ 1(x)f 2 (x) + f 1 (x)f ′ 2(x) + f ′ 3(x)f 4 (x) + f 3 (x)f ′ 4(x)
und nach Einsetzen der bereits bestimmten Ableitungen
f ′′ (x) = 6x sin(x) + 3x 2 cos(x) + 3x 2 cos(x) + x 3 (− sin(x))
= (6x − x 3 ) sin(x) + 6x 2 cos(x) .
Einige der Funktionen f 1 bis f 4 haben wir bereits, wenn auch unter anderem Namen,
bei der ersten Ableitung betrachtet. Daher ist das obige Verfahren für die zweite
Ableitung zwar sicher gewesen (keine Verwechslungsmöglichkeiten), aber auch aufwendig.
Eine Alternative besteht darin, die bei der Zerlegung von f(x) eingeführten Funktionen
g(x) und h(x) durchgängig zu verwenden. Dann ergäbe sich aus
f(x) = g(x) h(x)
die erste Ableitung
f ′ (x) = g(x)h ′ (x) + g ′ (x)h(x)
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007