Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

354 KAPITEL 9. VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN
§ 1319 Dieses Beispiel liefert noch keine wirklich neue Funktion, da der Integrand so gewählt
ist, dass sich das Integral ausführen lässt und wir als Ergebnis wieder eine Funktion in expliziter
Darstellung erhalten. Bei der Error Funktion als typischem Beispiel für eine Verallgemeinerte
Funktion wird ebenfalls diese Definition über die Fläche verwendet (vgl. Abb. 9.3),
jedoch ist der Integrand e −u2 . Für dieses Integral lässt sich keine analytische Lösung bestimmen.,
so dass sich auch nicht wie im obigen Beispiel eine explizite Darstellung erzeugen
lässt. Hier verbleibt nur der Rückzug auf eine numerische Lösung. Da ein Integral
der Form ∫ e −u2 du jedoch in der Physik häufig auftritt, z.B. im Rahmen der Maxwell’schen
Geschwindigkeitsverteilung oder allgemeiner von Wahrscheinlichkeitsverteilungen,,
ist es unökonomisch, jedes Mal zur numerischen Integration schreiten zu müssen. Es reicht,
wenn das einmal gemacht wird und jemand die Werte des Integral in Abhängigkeit von der
oberen Grenze tabelliert – genau das ist die Error Funktion.
§ 1320 Die Gamma Funktion als verallgemeinerte Fakultät ist ebenfalls über ein bestimmtes
Integral definiert, jedoch steckt hier das Argument nicht in der Integrationsgrenze sondern
im Integranden: die Integration läuft stets von Null bis ∞, die neue unabhängige variable ist
im Integranden enthalten. Ein Beispiel für dieses Verfahren zur Definition der Funktion wäre
f(t) =
∫ ∞
0
x t−1 dx .
Diese Definition ist sicherlich nicht sehr ergiebig, da das Integral auf Grund der oberen Grenze
jeweils gegen Unendlich geht. Fügen wir noch eine abfallende Exponentialfunktion als Faktor
hinzu, ergibt sich ein konvergierendes Integral der Form
f(t) =
∫ ∞
0
x t−1 e −x dx .
Das ist genau die Definition der Gamma Funktion. Wie die Error Funktion wurde die Gamma
Funktion als ‘Wertetabelle’ eingeführt, um ein häufiges Integral nicht immer wieder numerisch
auswerten zu müssen.
§ 1321 Auch über eine Differentialgleichung definierte verallgemeinerte Funktionen sind als
‘Wertetabelle’ motiviert. Diese Differentialgleichungen ergeben sich bei verschiedenen physikalischen
Problemen. So tritt z.B. die Bessel Gleichung (vgl. Abschn. 7.7.3) häufig bei
Kreis- oder Zylindersymmetrischen Geometrien auf, wie in Abschn. 11.3.4 am Beispiel der
schwingenden Kreismembran dargestellt. Die die Legendre Polynome definierende Differentialgleichung
dagegen tritt bei vielen kugelsymmetrischen Problemen auf; wir werden ihr in
Abschn. 11.3.5 am Beispiel einer schwingenden Kugeloberfläche begegnen. Beide Funktionen
sind uns bereits in Abschn. 7.7.3 am Beispiel der Bessel Funktion und in Abschn. 7.7.4 am
Beispiel der Legendre Polynome begegnet; über eine Differentialgleichung definiert verallgemeinerte
Funktionen werden daher in diesem Kapitel nicht weiter vertieft werden.
9.2 Die Dirac’sche Delta Funktion
§ 1322 Die Motivation zur Einführung der Dirac’schen Delta Funktion ist die mathematische
Beschreibung von idealisierten punktförmigen physikalischen Objekten. Mathematisch
bedeutet dies, dass wir mit der δ Funktion eine Funktion suchen, die auf eine andere Funktion
angewandt, den Wert dieser Funktion an einer bestimmten Stelle gibt:
∫ ∞
−∞
δ(⃗r − ⃗r 0 ) f(⃗r) dx = f(⃗r 0 ) . (9.1)
Anwendungsbeispiele sind der Massenpunkt oder die Punktladung. Ausgangspunkt ist in
beiden Fällen eine Dichteverteilung ϱ(⃗r) bzw. ϱ(x). Diese allgemeine Dichteverteilung soll mit
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode