Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

526 ANHANG C. ERSTE HILFE
und damit nach korrekter Ableitung der entsprechenden Produkte
f ′′ (x) = g(x)h ′′ (x) + g ′ (x)h ′ (x) + g ′ (x)h ′ (x) + g ′′ (x)h(x)
= g(x)h ′′ (x) + 2g ′ (x)h ′ (x) + g ′′ (x)h(x) .
Die beiden Funktionen und ihre Ableitungen sind
g(x) = x 3 ⇒ g ′ (x) = 3x 2 ⇒ g ′′ (x) = 6x
h(x) = sin(x) ⇒ h ′ (x) = cos(x) ⇒ h ′′ (x) = − sin(x) .
und damit nach Einsetzen
f ′′ (x) = x 3 (− sin(x)) + 2 · 3x 2 cos(x) + 6x sin(x)
= (6x − x 3 ) sin(x) + 6x 2 cos(x) .
Das ist das bereits oben gefundene Ergebnis.
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Beispiel 13 Ein sehr ähnliches Beispiel gibt die Funktion
f(t) = e t cos(t) .
Die Zerlegung f(t) = g(t)h(t) liefert für die beiden Funktionen und ihre Ableitungen
g(t) = e t ⇒ g ′ (t) = e t und
h(t) = cos(t) ⇒ h ′ (t) = − sin(t) .
Damit gilt für die erste Ableitung
f ′ (t) = g(t)h ′ (t) + g ′ (t)h(t) = e t (− sin(t)) + e t cos(t) = e t (cos(t) − sin(t)) .
Dieser Ausdruck ist ein Produkt aus einer Funktion und der Summe zweier Funktionen.
Um die zweite Ableitung zu bilden, wenden wir die Produktregel an. Die beiden
Teilfunktionen und ihre Ableitungen sind
f 1 (t) = e t ⇒ f ′ 1(t) = e t und
f 2 (t) = cos(t) − sin(t) ⇒ f ′ 2(t) = − sin(t) − cos(t) = −(sin(t) + cos(t)) .
Einsetzen liefert als zweite Ableitung
f ′′ (t) = f 1 (t)f 2(t) ′ + f 1(t)f ′ 2 (t) = −e t (sin(t) + cos(t)) + e t (cos(t) − sin(t))
= −2e t sin(t) .
Beispiele Kettenregel
§ 1875 Die Kettenregel wird angewendet, wenn die Funktion einer Funktion abzuleiten ist.,
d.h. die Funktion lässt sich in eine äußere und eine innere Funktion zerlegen.
Beispiel 14 Die Funktion
f(x) = √ 2x 2 + 4x + 9
lässt sich zerlegen in eine äußere Funktion √ u und eine innere Funktion u(x) =
2x 2 + 4x + 9. Die Ableitung dieser Funktion
f(x) = √ 2x 2 + 4x + 9 = √ u mit u(x) = 2x 2 + 4x + 9
erhalten wir, in dem wir erst die Ableitung der äußeren Funktion nach der inneren
Funktion u bilden und anschließend mit der inneren Ableitung multiplizieren:
f ′ (x) = f(u(x)) = d
du f(u) · d
dx (2x2 + 4x + 9) .
Für die einzelnen Ableitungen erhalten wir
f(u) = √ u = u 1 2 ⇒ d
du f(u) = 1 2 u− 1 2 = 1
2 √ u
u(x) = 2x 2 + 4x + 9 ⇒ d
dx (2x2 + 4x + 9) = 4x + 4 .
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13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode