Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

374 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
Abbildung 10.4: Flüssigkeitsstrom durch die
Quaderoberfläche in y-Richtung
während eines Zeitintervalls ∆t um ein Stück ∆s = v ∆t verschoben, d.h. das pro Zeiteinheit
durch dS ⊥ gehende Volumen ist ∆V = ∆S ∆s und damit für ein gegen Null gehendes
Flächenelement dV/dt = vS ⊥ .
§ 1400 Zur Interpretation der Divergenz betrachten wir eine genauere Herleitung des Flusses;
die zugehörige Geometrie ist in Abb. 10.4 dargestellt. Wir gehen von einem infinitesimalen
Volumenelement ∆V = ∆x∆y∆z aus. Wir betrachten den Fluss durch die Oberfläche dieses
Quaders und erstellen die Bilanz zwischen ein- und ausströmender Flüssigkeit. Dazu orientieren
wir auf den einzelnen Teilflächen die Flächennormalen jeweils so, dass sie nach außen
weisen: dann bedeutet ein positiver Fluss nach außen strömende Flüssigkeit (auch wenn diese
dann durch gegenüberliegende Seiten in unterschiedlicher Richtung strömt), ein negativer
Fluss dagegen in das Volumen einströmende Flüssigkeit. Strömt die Flüssigkeit einfach durch
das Volumen durch, so heben sich die Flüsse durch zwei einander gegenüber liegende Flächen
auf: ihre Beträge sind gleich, allerdings ist ihr Vorzeichen auf Grund der unterschiedlichen
Orientierungen der Normalenvektoren entgegen gesetzt.
§ 1401 Betrachten wir nun den Fluss durch das Volumen in Abb. 10.4 komponentenweise.
Der Fluss in i-Richtung ist durch die i-Komponente der Strömung bestimmt, d.h. Φ y hängt
von v y ab usw. Die Eintritts- und Austrittsflächen dazu sind S y = ∆x ∆z mit den zugehörigen
Geschwindigkeiten v y (x, y, z) und v y (x, y + ∆y, z). Da die Flüssigkeit durch die linke Fläche
in das Volumen hinein strömt und durch die rechte heraus, ist die Änderung des Volumens
pro Zeiteinheit
( δV
∆t
)
y
= (Φ r − Φ l ) y
= v y(x, y + ∆y, z)∆x∆z∆t − v y (x, y, z)∆x∆z∆t
∆t
= [v y(x, y + ∆y, z) − v y (x, y, z)]∆V
.
∆y
Die Änderung des Flüssigkeitsvolumens pro Volumen und Zeiteinheit ergibt sich durch Division
durch V
( ) δV
= [v y(x, y + ∆y, z) − v y (x, y, z)]
∆t ∆V
y
∆y
bzw. im Grenzübergang
( ) δV
lim
= ∂v y
∆t→0 ∆t ∆V ∂y .
y
§ 1402 Die gesamte Änderung des Flüssigkeitsvolumens pro Zeiteinheit und Volumenelement
ergibt sich durch Summation über die drei Komponenten zu
Φ = ∂v x
∂x + ∂v y
∂y + ∂v z
∂z
= ∇ · ⃗v = div ⃗v ,
d.h. die Divergenz ∇ · ⃗v des Geschwindigkeitsfeldes ⃗v gibt ein Maß für die Änderung des
Volumenstroms und damit für die Quellen und Senken des Geschwindigkeitsfeldes. Pro Zeiteinheit
wird also im Volumenelement ∆V ein Volumen δV = (∇ · ⃗v) ∆V erzeugt (div ⃗v > 0,
es tritt mehr Flüssigkeit aus dem Volumen aus als in es hinein, das Volumenelement ist eine
Quelle) oder vernichtet (div ⃗v < 0, es tritt mehr Flüssigkeit in das Volumen hinein als aus
ihm heraus, das Volumenelement ist eine Senke). Für div ⃗v = 0 ist Φ ein = Φ aus , d.h. es fließt
genauso viel Flüssigkeit zu wie ab und das Feld ist in diesem Volumenelement quellenfrei.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode