Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

3.2. GRUNDLAGEN 89
Definition 32 Eine in x 0 und einer Umgebung von x 0 definierte Funktion f(x) heißt stetig
an der Stelle x 0 , wenn der Grenzwert der Funktion in x 0 existiert und mit dem Funktionswert
übereinstimmt: lim
x→x 0
f(x) = f(x 0 ).
§ 353 Eine Funktion ist demnach stetig in einem Intervall [a, b], wenn diese Definition für
alle x ∈ (a, b) erfüllt ist; sie ist stetig in R, wenn die Definition für alle x ∈ R erfüllt ist.
§ 354 Stetige Funktionen werden als ‘well behaved’ bezeichnet. Wohlverhalten bedeutet u.a.
dass eine kleine Änderung im Input x zu einer endlichen Änderung im Output f(x) führt. Die
meisten in der Physik gebräuchlichen Funktionen sind stetig, Beispiele sind x n für alle n ∈ N,
x α für x > 0 und α ∈ R, Sinus, Kosinus und die Exponentialfunktion. Es gibt allerdings auch
stetige Funktionen, die nicht unbedingt als Musterbeispieel für Wohlverhalten qualifizieren:
die Koch’sche Schneeflocke in Abb. 6.6 ist ein interessantes Beispiel; sie kann in einem Zug
durchgezeichnet werden, ist aber so kantig, dass sie nicht überall differenzierbar ist – genauer
gesagt: bei unendlich vielen Iterationsschritten ist die Koch’sche Schneeflocke zwar stetig
aber in keinem Punkt differenzierbar.
§ 355 Bei der Untersuchung, ob eine Funktion stetig ist, ist der folgende Satz hilfreich:
Satz 10 Alle stetigen Funktionen stetiger Funktionen sind stetig. Ebenso sind alls Summen,
Produkte und Quotienten (in denen der Divisor von Null verschieden ist) aus Paaren stetiger
Funktionen wieder stetige Funktionen.
Die Lösung der Bewegungsgleichung eines Oszillators mit externem Antrieb (7.19)
x(t) = A cos(Ωt + ϕ) + e −γt (a cos(ωt) + b sin(ωt))
ist daher eine stetige Funktion, da sie nur Summen und Produkte von jeweils paarweise
stetigen Funktionen enthält.
§ 356 Stetige Funktionen haben eine Eigenschaft, die durch den Zwischenwertsatz beschrieben
wird:
Satz 11 Ist eine Funktion f(x) stetig in [a, b] mit a, b ∈ R und ist f(a) < 0 < f(b), so gibt
es eine Zahl c ∈ R mit a < c < b derart, dass f(c) = 0.
Anschaulich besagt dieser Satz, dass eine stetige Funktion, die an einer Stelle einen positiven,
an einer anderen Stelle dagegen einen negativen Funktionswert annimmt, an irgendeiner Stelle
dazwischen die x-Achse schneiden muss. Das erwarten wir auch, da wir anschaulich Stetigkeit
als Durchzeichnen interpretiert haben – und dabei müssen wir die Abszisse schneiden.
3.2.4 Vektorwertige Funktionen
§ 357 Funktionen beschreiben in der Physik Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Variablen,
z.B. die Abhängigkeit des Stroms von der angelegten Spannung. Bei einer Bewegung
beschreibt eine Funktion die Abhängigkeit des Ortes oder der Geschwindigkeit von der Zeit.
Ort und Geschwindigkeit sind vektorielle Größen, d.h. es ergeben sich Funktionen der Form
⃗r(t) bzw. ⃗v(t).
§ 358 Wie in Kap. 1 dargestellt, können Vektoren als geordnete Paare reeller Zahlen interpretiert
werden. Eine vektorwertige Funktion lässt sich entsprechend als geordnetes Paar
reeller Funktionen auffassen. Am Beispiel der bereits in der Parameterdarstellung verwendeten
Wurfparabel lässt sich dies illustrieren. Komponentenweise gilt für den Ort
x(t) = v 0,x t + x 0 und y(t) = − 1 2 gt2 + v 0,y t + y 0 .
Beide Komponenten in einem Vektor zusammen gefasst lassen sich schreiben als
( ) (
)
x(t)
v
⃗r(t) = =
0,x t + x 0
y(t) − 1 .
2 gt2 + v 0,y t + y 0
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007